《数学学习与研究》2018.8发表了唐小勃老师的一篇文章“谈数学教材证明等边对等角的方法不合理的原因”。该文认为，人教版初中数学教材（八年级上册）证明等腰三角形的性质“等边对等角”时用到了三角形全等的判定条件SSS，而“欧氏几何中SSS的判定定理是由等边对等角推出”，据此认为教材中的证明构成了循环论证。在与其他一些老师交流过程中，笔者也感到有些老师对欧氏几何，以及初中几何与欧氏几何的关系等问题存在着一定误读。本文就此谈一点个人的理解。
几何知识的产生是人类实践活动的产物。早期阶段的几何知识大都是粗浅、直观、经验性和零散的。公元前7世纪左右古希腊时代，埃及的几何知识传入希腊，随后众多希腊学者不仅发现了许多新的几何问题，而且开始把逻辑学的思想方法引入几何研究，对几何问题进行了一些逻辑推理和证明，但存在的一个很大问题是：缺乏系统性。为此很多希腊学者进行了尝试和探索，力图将几何结论排成一个逻辑链条。公元前3世纪，数学家欧几里得（Euclid，活动于约公元前300）对前人的研究成果进行了大量且卓有成效的整理和研究，编写出对后世几何学发展具有深远影响的鸿篇巨制——13卷本的《原本》（Elements）。欧几里得在编写《原本》时，采用了一种前所未有的独特方式：在第1卷开始他首先提出23个定义，之后提出5个公设、5个公理（近代数学不再区分“公设”和“公理”，都称为公理），后面各卷不再列出其他公设和公理。在此基础上，他先证明第１个命题（定理）；然后，又依据这些公设、公理、定义及已证的第１个命题证明第２个命题，如此循序渐进，直至证明所有的命题。
《原本》的最大贡献在于，它建立了一个由定义、公设、公理，以及所有定理组成的逻辑体系；对每一定理不仅仅作出了证明，更重要的，它是在这种逻辑体系中作出的证明。这种编写方式具有十分明显的优越性，每一个定理都与前一个定理有着十分清晰而明确的联系，可以避免循环论证。
《原本》13卷中，第5，7，8，9，10卷主要讲述比例和算术理论，其余各卷都是讲述几何内容的。
《原本》集当时希腊数学之大成，开公理化方法之先河，在数学发展史上具有划时代的意义；同时，它开启了人类思维的一场革命，是科学思想史上的一个里程碑；它对数学及其他科学乃至人类的思想所产生的巨大推动作用是其他著作无法取代的。
《原本》问世后，各种文字的手抄本流传了1700多年；以后又以印刷本的形式出了1000多版。
1607年，明代数学家徐光启（1562—1633）与意大利传教士利玛窦合作，将德国人克里斯托弗·克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷，1574）前6卷译成中文出版，并定名为《几何原本》，几何的中文名称即由此而来。1857年，中国科学家李善兰与英国人伟烈亚力根据《原本》的另一种英文版本将后9卷合译出版。
在《原本》的5个公设中，第五公设是一个非常重要的命题，其内容是：如果两条直线与另一条直线相交，所成的同侧内角的和小于两直角，那么这两条直线在这一侧必相交。这一公设语句较长，表述复杂，远不像前4条公设那样简单明了，因此有数学家研究用一个更简单明了的等价命题来替代它，其中最简明的等价命题是“在平面内过已知直线外一点，只有一条直线与已知直线平行”。后来，人们把这一与第五公设等价的命题称为“欧几里得平行公理”[1]。
由于时代的局限性，欧几里得的《原本》也存在很多缺陷。为此，很多数学家对它进行了不懈的研究。1899年，德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862—1943）的《几何基础》出版，书中第一次给出了完备的欧几里得几何的公理系统：[2]
列出了三个基本对象（点、直线、平面）；提出了三个基本关系（结合关系——点在直线上、点在平面上；顺序关系——一点在另两点之间；合同关系——两线段合同、两角合同）；规定了5五组公理（结合公理、顺序公理、合同公理、平行公理和连续公理，共20条）。基本对象与基本关系统称为基本概念，它们是不加定义的，只受5组公理的制约。
从此，人们把以欧几里得平行公理为基础的几何学称为“欧几里得几何学”（Euclidean geometry），简称“欧氏几何”[1]。欧氏几何由欧几里得创立，最终由希尔伯特得以完善，它是满足希尔伯特公理系统中的结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理、欧几里得平行公理，以及由其导出的一切命题组成的几何体系。
在对《原本》的研究过程中，很多数学家感觉第五公设不像一条公设，而更像一个需要证明的定理。于是，他们投入了大量精力，寻找证明第五公设的方法，但一直到19世纪初，这些努力都失败了。鉴于此，有数学家开始怀疑第五公设证明方法的存在性！其中，俄国数学家罗巴切夫斯基（Nikolas lvanovich Lobachevsky，1792—1856）就是这些数学家的杰出代表。于是他改变了研究方法：否定第五公设，把第五公设改换成“在平面内过已知直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行”，同时保留欧几里得第五公设以外的其他公设和公理，这样推导下去如果出现矛盾，则说明对第五公设的否定是错误的，进而也就间接证明了第五公设；反之，如果推导不出矛盾，则说明“第五公设是可以证明的定理”的观点是错误的，也就说明了第五公设是不可证明的。按照这种思路进行研究之后，罗巴切夫斯基得到了一系列全新的、无逻辑矛盾的命题。19世纪二三十年代，罗巴切夫斯基将这一新的几何学说公之于众。后人把罗巴切夫斯基发现的这种不同于欧几里得几何学的新几何学，称为“罗巴切夫斯基几何学”，简称“罗氏几何”，而“在平面内过已知直线外一点，至少有两条直线与已知直线平行”则被称为“罗巴切夫斯基平行公理”[1]。1854年，德国数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826—1866）又提出了一种既非欧氏几何又非罗氏几何的新的几何学。
罗巴切夫斯基和黎曼的几何学，都是不同于欧几里得几何学的几何体系，因此被统称为“非欧几何”。它们与欧氏几何的最主要区别是：在公理体系中采用了不同的平行公理。
用希尔伯特的结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理，加上欧几里得平行公理可以推出欧氏几何的全部内容；用希尔伯特的结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理，加上罗巴切夫斯基平行公理可以推出罗氏几何的全部内容。而只涉及结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理的内容称为绝对几何，它是这两种几何的公共部分。[1]
作为现代中学数学课程的一部分，我国的中学平面几何课程内容主要脱胎于欧几里得《几何原本》中的平面几何部分。例如，从20世纪30年代直到50年代初，我国很多中学使用的译自国外的3S平面几何教材，就是《几何原本》中平面几何部分的改写本；人民教育出版社成立初期出版的自己编写的平面几何教材，内容也是类比着《几何原本》[3]。
从20世纪60年代初开始，我国的平面几何课程在内容编排上发生了一些变化：使用了较多的“公理”，并将平行线的内容安排到三角形内容的前面。此后，尽管我国的平面几何课程内容历经多次变革，但其设计思路并未发生大的改变，即采用扩大的公理体系（把一些原本不是公理的命题作为公理来使用），在保证前因后果的逻辑顺序的前提下，由简到繁展开相关图形的学习。
需要强调的是，决定几何体系欧氏属性的，关键是其遵循的平行公理，而非其内容的展开顺序。比如，早年引进的3S平面几何教材与后来国内自己编写的平面几何教材，尽管它们在内容选取、编排顺序等方面有很大不同，但无疑都属于欧氏几何的范畴。
现行的初中平面几何课程内容是由教育部制定的《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课程标准（2011年版）》）规定的。具体来说，《课程标准（2011年版）》在其第三学段（7~9年级）的“图形与几何”部分，列出以下9条基本事实，作为义务教育阶段图形性质证明的出发点：[4]
（1）两点确定一条直线。
（2）两点之间线段最短。
（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直。
（4）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
（5）过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
（6）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）。
（7）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）。
（8）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）。
（9）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
从这9条基本事实出发，证明有关相交线与平行线、三角形、平行四边形、圆的几十个定理。
《课程标准（2011年版）》把上述9条称为“基本事实”，而不称为“公理”，其主要原因是其中大多数都是欧氏几何中的定理，而且它们也不具有公理体系所应有的独立性和完备性。
我国目前各版本的初中数学教材都是依据《课程标准（2011年版）》进行编写的。对平面几何内容的处理，也都毫无例外地以上述9条基本事实作为相关几何证明的出发点。
如前所述，我国目前各版本的初中数学教材都是依据《课程标准（2011年版）》进行编写的。判定三角形全等的命题SAS，ASA，SSS在教材中是作为证明出发点的“基本事实”，以此为依据证明等腰三角形的性质“等边对等角”，这在《课程标准（2011年版）》所确定的几何体系下完全合乎逻辑，不存在任何问题。有老师认为教材在这里是循环论证，其关键理由是“欧氏几何中SSS的判定定理是由等边对等角推出”。这种观点存在两个问题：
第一，混淆了作为几何学体系的“欧氏几何”与阐述欧氏几何的具体图书（教材）的区别。欧氏几何是以欧几里得平行公理为基础的几何学体系；而阐述欧氏几何的图书（教材）可以因所选内容、编排顺序等不同表现各异。欧几里得《几何原本》中“SSS的判定定理是由等边对等角推出”，并不意味着所有阐述欧氏几何的图书（教材）都必须按这样的顺序编排。
第二，混淆了不同图书（教材）内容编排顺序的区别。欧几里得的《几何原本》有自己的内容编排顺序，现行初中数学教材也有自身的内容编排顺序，二者分别自成一体。把它们不加区别、混为一谈，用前者去否定后者，这有“关公战秦琼”之嫌！
作者 | 王永会（北京师范大学出版社）
内容来源 |《数学课程实践与探索》杂志2019.3期，投稿邮箱：math207@126.com
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