我们在数列部分常碰到这样的问题:证明某个复杂数列为等差或者等比数列.比如下面这道题.
从求证出发,我们回顾等比数列的定义:从第2项开始,数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数,则这个数列为等比数列.
这就是我们证明等比数列的主要办法,也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可.
下面说到使用定义法的技巧,就是在化简过程中,保持前项不变,然后把后项用前项表示之后再代入.
道理也是显然的,要使得计算结果为常数,必须要出现消项、约分,所以把后项朝前项去靠近,才能最终通过消项、约分得到常数.
根据条件中给定的关系式,代入上式.
结果还真是一个常数,神奇吗?
其实一点也不神奇,只要方法正确,常数是命题者设计好了的,你不用担心.
下面,增加一点难度,看这一道分段形式给出的数列递推式.
请自觉做题3分钟.不要往下看.
你还是忍不住看了,好吧.
分析:首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它.
我们对数列还是一头雾水,但是有了一些感性的认识.
不管怎样,还是采用定义法来证明.
还是采用前面介绍的技巧:保持前项不变,把后项用前项表示之后再代入.
注意看,分子项和分母项的脚标相差2,我们根据题目所给递推式,可以分两步来.
咦!结果又是一个常数.
废话,要不是常数,那就是题目出错了.
正所谓:定义法来真好用,证明等比显奇功.
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