立体几何方面的文章写的比较少,借这个机会说一说线面角和点面距.
首先来认识线面角.
如上图所示,在斜线上找一个不同于斜足O的点A.
3.过该点作平面的垂线,定垂足.
如上图所示,过点A作AB垂直于平面,垂足为点B.
4.定射影
连接斜足O与垂直B,得到斜线OA在平面内的射影OB.
5.定线面角
斜线与射影所成的锐角记为该直线与平面所成的角,简称线面角.当然,线面垂直时线面角为90度.
这个方法就是典型的“定义法”.
观察上面的5步,最困难的是第3步,即找到平面的垂线是关键所在.
回到本题第(1)问,按照定义法去寻找线面角.
定斜足
A1B与平面ABD的交点B为斜足.
2.在A1B上再找一点.
找A1点呢,还是找E点呢?
显然,找E点比较好,因为E点在平面ABD的射影已知.
3.过E点作平面ABD的垂线,定垂足.
显然,EG垂直于平面ABD,G为垂足.
4.定射影
连接B点和G点得到射影BG
5.定线面角
斜线A1B与射影BG所成的角EBG就是所求的线面角.
我们取AB的中点F,连接DF.根据三角形重心的特点,点G在DF的1/3点处(靠近F点)
如何求EG呢?
求边的长度的方法,就是把这条边放入到它所在的三角形(最好是直角三角形)或者平面图形中.利用解三角形的知识,或者利用平面几何的知识进行求解.
把EG放到哪个三角形中呢?
三角形EBG是需要求解的三角形,显然不能放在这个三角形中.
我们要尽量放在直角三角形中,因为计算比较简便;尽量放在已知条件比较多的三角形或平面图形中,以利于求解.
经过权衡,我们把EG放在三角形EFD中.下面,画出这个平面三角形.
为方便观察,我们可以画出EG所在的平面四边形EFCD.
事实上,这个平面四边形EFCD为矩形.
下面作一简要证明.
根据这个图形的特点(直角三角形加上斜边的高线),我们多次用到射影定理.
EG,EB都已知,线面角大小可求.
最后一步用到的反三角函数,没有学习过的童鞋不用懂,哈哈.
再说第(2)问.
求点到平面的距离(简称“点面距”)的方法有两种:
定义法:作出该点到平面的垂线,确定垂足,那么该点到垂足的距离就是点面距;
等体积法:把点面距看作三棱锥的高,利用三棱锥的顶点和底面可以任意变换的特点,实现高线的转化.
本题D点到平面AA1E的距离已知,所以采用方法2.
为什么D点到平面AA1E的距离已知呢?
下面我们采用等体积法求A1点到平面ADE的距离.
等体积法也可用于求解线面角,以后闲暇时再写.
两点经验:
1.求边的长度要把边放到它所在的三角形或平面图形中,这样有利于计算,这也是转化与化归思想的体现,即把立体几何问题转化为平面几何问题.
多画平面图形,多画平面图形,多画平面图形,重要的事情说三遍.
2.等体积法用于求点面距和线面角,能有效降低思维量.
有兴趣的童鞋可用空间向量法解一遍试试.
我写累了,您也看累了,听个民乐乐呵乐呵吧.
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