2017年中考数学证明线段垂直典型问题实战

证明两线垂直的方法有很多， 可以借助角度(90°)，可以借助圆，可以借助第三条直线等等。证明两线垂直的题目也是我们常见的题目，在解答题中出现的较多。

今天我们就举一个这样的例子，这道题目也是有一定难度的，希望同学们能举一反三，触类旁通，有所收获。

如图?ABC，分别以AB,AC为边作正方形ABED,ACGF，连接BD,CF。

H,I,J分别为BD,BC,CF的中点，连接HI,IJ

证明HI垂直于IJ

题目解析：

初一看这道题目不知道从何下手，条件简单，但是图形复杂，而且要证明的两条直线没有什么位置特点。其实对于这种条件多且分散的题目，我们要想办法作辅助线能将这些条件聚拢到一起，也许就能找到问题的突破口了。

既然题目要证明的两条线段是中点连线，所以就直接补齐三角形，将中线之间的关系转化为底边之间的关系，看看能否找到突破口，所以就有了下面的辅助线，连接DC,BF

解答过程：

作辅助线连接DC,BF

∵ H,I,J分别是BD,BC,CF的中点

∴ HI//CD,IJ//BF

看?DAC 和?BAF

DA=BA

AC=AF

∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°+∠BAC=∠FAC+∠BAC=∠FAB

∴?DAC 和?BAF 全等

∴∠ADC=∠ABF

将DC与AB,BF的交点标注出来如下图点L,点K

又∵∠ALD=∠BLK

则有?DAL 和?BKL相似(两角相等)

∴∠LKB=90°

∴ CD垂直于BF

而HI平行于CD,IJ平行于BF

∴ HI垂直于IJ

证毕。

遇到此类问题，不要害怕，可以根据提供的条件作相应的辅助线，将这些条件利用起来，找到角度或者线段的对应关系，就能找到解决问题的突破口。