题目：
在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴正半轴上，OA=4，OC=2，点P、点Q分别是边BC、边AB上的点。连接AC、PQ，点B1是B关于PQ的对称点。
1、若四边形OABC为矩形，如图1。
①求点B的坐标；
②若BQ：BP=1：2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
2、若四边形OABC是平行四边形，如图2。OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、F。若B1E：B1F=1：3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
1、关于问题①，因为OC和OA的长度已知，且四边形OABC是矩形，所以B的坐标易得，为（4，2）；
关于问题②，跟着问题找条件。要求B1的坐标，先看与B1直接相关的条件：
B1在x轴上，所以B1纵坐标为0；
与B关于PQ对称，所以BB1⊥PQ，且PQ中分BB1。
目前，我们仍不知道B1的横坐标，所以需要利用条件“B1与B关于PQ对称”进行求解。但问题在于，PQ也是一条不固定的线段，题干条件仅为“BQ：BP=1：2”。恰好，也是幸好，BA：BC=1：2。由此不难证明△BPQ∽△BCA，所以PQ∥AC，这样BB1⊥AC。即便这样，我们仍然无法利用PQ的其他性质，只能继续挖掘BB1⊥AC。
注意到，∠BCA+∠B1BC=90度，∠B1BA+∠B1BC=90度，所以∠BCA=∠B1BA。由此，不难推出直角三角形B1BA与直角三角形ACB相似，从而AB1：AB=1：2，于是AB1=1，B1的坐标为（3，0）。
2、共有2个问题：B1的纵坐标是多少？m的取值范围是多少？问题的实质是B1的位置在哪里。跟着问题找条件，先看与B1直接相关的条件：
B1E：B1F=1：3；
B1与B关于PQ对称。
PQ在哪里，唯一的信息是P在线段BC上，Q在线段BA上，其余则完全不知道，所以“B1与B关于PQ对称”无法拿来推导B1的位置。我们只能挖掘B1、E、F。
记B1（m，b），由于EF∥x轴，所以E和F的纵坐标与B1相同；由于B1E：B1F=1：3，所以B1E、B1F可以用B1和E、F的横坐标表示。但问题是，当我们用B1和E、F的横坐标表示B1E、B1F时，必须知道B1与E、F的相对位置：只有三种情况：
B1在E右侧；
B1在E、F之间；
B1在F左侧；
记E的横坐标为e，F的横坐标为f，对上述三种情况分别讨论：
当B1在E右侧时，B1E=m-e，B1F=m-f。这样，关于B1、E、F的条件如下
CF^2+CE^2=EF^2；
B1E：B1F=1：3。
接下来，我们把B1、E、F的坐标代入，通过消除e、f得到b关于m的表达式。下面主要用距离公式进行线段长度的计算，当然也可以用勾股定理代替。首先，看看CF与CE。由于EF∥x轴，所以CF：CE=CO：CA，而CA=√3。这样，我们得知CF：CE=1：√3，并同时发现直角三角形OAC的特殊性：30度、60度和90度的内角，不难得到B（5，√3），C（1，√3）。于是，
CE^2=（e-1）^2+（b-√3）^2；
CF^2=（f-1）^2+（b-√3）^2；
EF^2=（e-f）^2。
同时，由CF：CE=1：√3得到CE^2=3CF^2=3（f-1）^2+3（b-√3）^2。于是，有
（e-f）^2=4（f-1）^2+4（b-√3）^2
（e-1）^2+（b-√3）^2=3（f-1）^2+3（b-√3）^2
通过消去（b-√3）^2，可得（e-f）^2=2（e-f）（e+f-2）。由于B1E：B1F=1：3，所以E、F不能重合，所以e-f不为0。这样得到e+3f-4=0。再利用3（m-e）=m-f，通过消去e、f可以得到b=（-m√3+6√3）/5。
下面我们要判断m的取值范围了。提前剧透：给出两个思路，但无论哪种都较为繁复。跟着问题找条件，m需要满足什么样的条件？等价于B1需要满足什么样的条件！
首先，根据分类，B1需要在AC的右侧；
其次，由于EF与AC、OC相交，所以B1的纵坐标不能小于0，不能大于√3。即EF不能低于OA，不能高于BC；
最后，也是最关键的，B1与B对称，其中垂线PQ必须满足P在线段BC上，Q在线段BA上。
在之前的求解过程中，我们始终没有用到“B1与B对称”这一条件，现在用来验证B1。
思路一：记B1B的中点为E，其坐标可以用B1和B的坐标表达。显然E在PQ上，PQ与B1B垂直，又已经知道PQ上一点E，所以直线PQ的表达式可得（含参数m）。这样，直线PQ与BC和BA的交点P、Q坐标可得。这两个交点分别在线段BC和BA上，所以其取值是有范围的。这样，可以得到m的取值范围。
思路二：通过在数学推导上不严谨（但没错）的几何方法去求解。找到PQ的极限位置，然后分别求出此时B1的坐标值，可得m的范围。
关于思路一，在数学上十分严谨。大家可以试一试，最终得到关于m的一元二次不等式，利用抛物线性质可以得解。但是计算的过程比较繁复。
关于思路二，赘述如下：
注意到，B1的坐标（m，（-m√3+6√3）/5），说明B1位于直线y=（-x√3+6√3）/5上，我们画草图如下：
关于P'Q'：由于P'Q'是BB1'的中垂线，所以BP'=B1'P'，即BC=B1'C=4，根据距离公式可得（1－m）^2+（√3－（-m√3+6√3）/5）^2=16，从而得到m=1±10/√7；
关于P''Q''，B1''A=BA=2，根据距离公式可得（4－m）^2+（0－（-m√3+6√3）/5）^2=4，可得m=6或m=17/7。
观察图形，舍去m=1－10/√7和m=6，可得B1'横坐标1+10/√7，B1''横坐标17/7。同时，注意到此时B1满足“在AC的右侧”和“B1的纵坐标不能小于0，不能大于√3”，所以m的取值范围为17/7≤m≤1+10/√7。
当B1在E、F之间时，与上述情况类同，不再赘述；
当B1在F左侧时，B1E≥B1F，不满足B1E：B1F=1：3。
这两种情况，图示如下
解题：
写不动了，不再赘述。
回顾：
1、在题目1第二个问题中，题目直接给出了图示：矩形OABC在第一象限。如果在第四象限呢？影响B1的求解么？
2、在题目2中，如果平行四边形OABC在第四象限，会如何？
3、题目2的求解，需要注意对B1的位置进行分类讨论，对所有情况都要考虑到。这里容易漏解，需要注意。
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