题目:
在平面直角坐标系中,O为原点,直线y=-2x-1与y轴交于点A,与直线y=-x交于点B,点B与点C关于原点对称。
1、求过A,B,C三点的抛物线的解析式;
2、P为抛物线上一点,它关于原点的对称点为Q。
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②记点P横坐标为t,-1<t<1。当t为何值时,四边形PBQC的面积最大?并说明理由。
分析:
跟着问题找条件
1、求抛物线解析式,需要知道A,B,C的坐标
题目要求过A,B,C的抛物线方程,那么我们需要知道A,B,C的坐标。根据题意,A为y=-2x-1与y轴的交点,B为y=-2x-1与y=-x的交点。通过联立方程,可以得到A(0,-1),B(-1,1)。B与C关于原点对称,所以这两个点的坐标完全相反,于是C(1,-1)。
记抛物线解析式为y=ax^2+bx+c,代入A,B,C坐标,得到三个方程,联立可得a,b,c的值,不难得到解析式为y=x^2-x-1。
2、①挖掘菱形的几何性质
关于P,直接相关的已知条件有3个:
P在抛物线上
P与Q关于原点对称
PBQC是菱形
逐个挖掘:根据第1个条件,我们可以得到P的横坐标与纵坐标之间的关系式;根据第2个条件,可以得到Q的坐标,可以得到OP=OQ;根据第3个条件,PB=PC=QB=QC,PQ与BC互相垂直、中分。
思路1:利用PB=PC
由于B,C的坐标已知,我们可以利用距离公式算出PB、PC,利用PB=PC得到一个仅含一个未知数(P的纵坐标可用横坐标表达)的方程,从而求得P的坐标。
思路2:利用PQ与BC互相垂直、中分
BC斜率是-1,所以直线PQ斜率为1且过原点,解析式为y=x,所以P的横坐标与纵坐标相同。由此可得P的坐标。
所以,这个问题中,跟Q没什么关系......
②第一步,四边形PBQC的面积如何表达?
题目问四边形面积何时最大,那么首先要考虑四边形面积如何表达。否则,根本没有研究的基础。四边形PBQC可以分解为△BPQ与△CPQ,也可以分解为△PBC和△QBC。并且由于P、Q关于原点对称,A、B关于原点对称,所以不难发现△BPQ与△CPQ面积相等,△PBC和△QBC面积也相等。这样,四边形的面积可以用某一个三角形的面积表达。
第二步,选哪个三角形?
如果选择△BPQ,那么无论以哪条边作底边,底边和高都是含有未知数的表达式。如果选择△PBC,至少BC长度是定值,我们只要找到高的表达式即可。所以,选择△PBC。
第三步,高是多少?
过P作BC的垂线,垂足为H,如下图。则四边形PBQC的面积=2倍的△PBC的面积=BC×PH。
(h-t)/(-h-t^2+t+1)=1
这样我们得到h=(-t^2+2t+1)/2,这样PH可以通过t来表达,计算得
PH=(1-t^2)/√2
于是四边形PBQC的面积=2-2t^2。
第四步,何时面积最大?
显然,t=0时,面积取最大值2。此时,P点坐标(0,-1)。
最后,为什么限定-1<t<1?
上述,我们省略了计算过程。事实上,计算PH时需要开根号。当t超出取值范围时PH=(t^2-1)/√2。这样,四边形的面积=2t^2-2,不再存在最大值。
解题:
1、记抛物线解析式为y=ax^2+bx+c,记A(xa,ya),B(xb,yb),C(xc,yc)。根据题意:
A:在y轴上,所以xa=0;在y=-2x-1上,所以ya=-1;
B:在y=-2x-1上,所以yb=-2xb-1;在y=-x上,所以yb=-xb。于是xb=-1,yb=1;
C:与B关于O对称,所以xc=1,yc=-1。
这三个点都在抛物线上,分别代入,可得
-1=c
1=a-b+c
-1=a+b+c
计算可得a=1,b=-1,c=-1,所以抛物线解析式y=x^2-x-1;
2、记P点坐标为(t,y),则y=t^2-t-1。
①四边形PBQC为菱形,所以PB=PC。而
PB^2=(t+1)^2+(t^2-t-1-1)^2,
PC^2=(t-1)^2+(t^2-t-1+1)^2
即有(t+1)^2+(t^2-t-1-1)^2=(t-1)^2+(t^2-t-1+1)^2,整理得t^2-2t-1=0。于是t=1±√2,P(1-√2,1-√2)或(1+√2,1+√2)。
②由于OP=OQ,OB=OC,∠POB与∠COQ为对顶角,所以△POB≌△QOC,所以PB=CQ。同理,PC=QB。所以△PBC≌△QCB,所以四边形PBQC的面积=2倍的△PBC的面积。
作PH⊥BC,H为垂足。则△PBC的面积=BC×PH/2。注意到H在BC上,所以可记H坐标为(h,-h)。PH⊥BC,所以直线PH斜率为1,所以(h-t)/(-h-t^2+t+1)=1,可得h=(-t^2+2t+1)/2。
根据距离公式,PH=√[(1-t^2)^2/2]。当-1<t<1时,PH=(1-t^2)/√2。又,BC=2√2,所以四边形PBQC的面积=2-2t^2。
2-2t^2的最大值,显然为2,当t=0时取得。而t=0满足-1<t<1,符合题意。
回顾:
1、所有用到斜率的地方,都可以用几何图形性质推导;
2、关于PH的计算,也可以利用等腰直角三角形的性质推导,大家可以试一试。
联系客服