题目：
如图，点C为△ABD外接圆上的一动点，∠ACB=∠ABD=45°。
1、求证：BD是该外接圆的直径；
2、连结CD，求证：√2AC=BC+CD；
3、若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM。试探究
三者之间满足的等量关系，并证明你的结论。
分析：跟着问题找条件
题目1：
我们按照外接圆、外心最原始的概念去求证，顺便巩固一下对相关基础方法的理解。
问：如何证明BD是△ABD外接圆直径？
答：按照定义，直径是过圆心的弦。所以证明圆心在BD上即可。
问：如何证明△ABD外心在BD上？
答：按照定义，到A，B，D等距离的点即为外心。证明此点在BD上即可。
如图，取BD中点O，连接AO。
问：为什么选取点O？
答：目标是证明BD为直径，那么BD的中点则必然是圆心。反过来，如果BD中点是圆心，则BD必然是直径。
题目2：
问：如何证明√2AC=BC+CD
答：把等式两边的值都找出来。其中，BC，CD都是切实存在的线段，而√2AC=？
问：如何表示√2AC？
答：2个方向：
几何方向：找一条长度等于√2AC的线段（辅助线）；
代数方向：用距离公式（需要坐标系），或者勾股定理直接计算。
分别叙述如下：
方向一：几何方法
问：几何方向为什么需要辅助线？
答：因为C的位置不固定，AC的长度必然也不固定，所以必然无法用已有线段表示。
问：怎么做辅助线？
答：先问问为什么是√2倍？√2AC是以AC为直角边的等腰直角三角形的斜边长度！
作辅助线如下（注意措辞，一定要尽量严谨，保证你的辅助线是合理，可以实现的）：
过A作AC的垂线，与CB的延长线交于点E（大家思考一下，这个一定相交吗，为什么？），如图
由于∠ACB =45°，所以△AEC是等腰直角三角形，EC为斜边，所以EC=√2AC。而EC=BC+BE，所以我们的目标就是证明BE=CD。
问：怎么证明BE=CD？
答：纯几何方法中，证明两条“离得很远”的线段相等，可用的方法并不多，其中“三角形全等”几乎是必然的选择。
现在来说说为什么这么做辅助线（跟着问题找条件）：
第一步：我们的目标：建立以AC为直角边的等腰直角三角形
第二步：所以，只能以A或C为顶点作AC的垂线，将AC作为一条直角边
第三步：建立等腰直角三角形，还需要找一个以A或C为顶点的45°角，而恰好∠ACB=45°
所以，以A为直角顶点，即过A作AC垂线（放弃过C做垂线），延长CB去得到斜边。顺着这个思路，还可以把垂线向另一个相反方向延伸，与CD延长线相交。如图
后续证明，大家可以自行尝试一下。
方向二：代数方法
本文所用知识、工具全部在初中学力范围内。
如图，以外心O为原点，延长OA作y轴正半轴，延长OD作x轴正半轴。根据题意，点C在⊙O位于x轴以下的弧上。
记⊙O半径为r＞0，则A（0，r），B（-r，0），D（r，0）；记C（x，y），则y＜0，C坐标满足
第一步：计算√2AC，BC和CD的长度
发现新问题：由于根号的存在，无法比较√2AC与BC+CD。
第二步：去根号（平方）
整理（第二次去根号）
于是可得√2AC=BC+CD。
思考：第二次去根号是必须的吗？
题目3：
采用了代数方法，几何方法需要多条辅助线，大家自行尝试。与题目2相同，建立坐标系：A（0，r），B（-r，0），D（r，0）；记C（x，y）。
问：DM、AM与BM的平方，有和关系？
答：利用距离公式，对上述平方项进行表达。其中M坐标（表达式）未知
第一步：求M坐标
记M（m，n），M与C关于AB对称，所以有如下关系
整理可得
第二步：表示3条线段的平方
注意到C在⊙O上，即x，y的平方和为r的平方，整理得
回顾：
一、我对几何方法始终有一些“偏见”，因为几何方法严重依赖几何图形的呈现，而这种呈现有以下几方面的问题：
1、不严谨：你想象出来的图形是正确的吗？比如，辅助线添加合理吗？以本题为例，垂线与延长线相交是合理、必然的吗？
2、易漏解：考人脑去构思、想象几何图形的样子，很多时候容易漏掉某些情况。
3、有难度：这个主要集中在辅助线的添加，虽然都有迹可循，但关于“辅助线为什么这么添加”，有时如草灰蛇线，“很没有道理”可讲。过一段时间，我会搜集整理一些涉及辅助线添加的几何问题，解析“为什么这么添加”，分享给大家。
二、题目2中的最后，我向大家提问：二次去根号是必须的吗？2BC×CD有什么几何意义吗：三角形BCD面积的4倍！-4ry呢？恰好也是三角形BCD面积的4倍。
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