前言：每天1道压轴题，小题大做胜过题海战术。
题目：
如图，抛物线L与x轴交于A、B两点，其中B（1 , 0）。
1、求抛物线的解析式和点A的坐标；
2、如图1，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分∠APB时，求点P的坐标；
3、如图2，已知直线y=（2/3）x－（4/9）分别与x轴，y轴 交于C，F两点。点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE。问以QD为腰的等腰△QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。
分析：
题目1：
直接给答案：a=1，点A（－3，0）。顺手求出坐标轴x=－1，顶点（－1，－4），与y轴交点（0，－3）；
题目2：
记点P坐标（p，p）。
问：如何求点P坐标，即p的值？
答：翻译“直线y=x平分∠APB”，从而得到关于p的方程。
问：如何翻译“直线y=x平分∠APB”？
答：有以下2类方式（即“直线y=x平分∠APB”的推论）
代数法：y=x上任意一点（点P除外，比如原点）到直线AP和AB的距离相等；
几何法：记直线AP与y轴交点为A'，则可证OA'=OB。进而利用直线AA'与y=x的交点为P求解；
上述无论代数法或几何法，还有其他类似的变形方法（不再一一展示）：
比如代数法，可以过原点O作y=－x，与直线AP和BP的交点组成的线段被原点O中分；
比如代数法，可以在射线PA和射线PB上任取两点M，N，使PM=PN，则MN被y=x中分；
比如几何法，可以找PB与y轴的交点B'，则OA=OB'。
本文不对上述方法的难易（都是相对的，换一道题，可能难的方法就变简单了）进行讨论，仅对方法的运用进行展示。
代数法：原点到直线AP和AB的距离相等
过原点作PA和PB的垂线，记垂足为M，N。则OM=ON。记直线OM和ON斜率为k'和k''，记M（x'，y'），N（x''，y''），有如下条件
于是
同理可得
所以
其中，p=0舍去（此时，P与原点重合，∠APB=180°，O到PA、PB的距离为0，但y=x显然不平分∠APB）；
几何法：记直线AP与y轴交点为A'，则可证OA'=OB
∵ ∠A'OP=∠BOP=45°，∠A'PO=∠BPO，OP公共边
∴ △A'PO≌△BPO
∴ OA'=OB=1
所以A'（0，1）或（0，－1）（舍去，为什么？大家思考一下），所以直线AP解析式为y=x/3+1，与y=x的交点P坐标（3/2，3/2）。
题目3：
问：面积的最大值存在么？是多少？
答：先找到面积的表达式，然后再观察是否存在最大值。
第一步：求△QDE的面积表达式
首先声明：选择哪组底与高，差别仅在于计算量，并无优劣之分。而哪个计算量更小，无法仅仅通过心算进行准确的预判。本文选择了以QD为底，大家可以尝试以DE为底。能否以QE为底？能，但Q，D，E均为动点，无论是底或高的计算都会涉及到根号、平方。
辅助线：作EH⊥QD，H为垂足。记Q（q，y），y满足抛物线解析式；记D（d，（2/3）d－（4/9）），E（e，（2/3）e－（4/9））；记H（h，l），有如下信息
DQ∥y轴，所以d=q，即D（q，（2/3）q－（4/9））；
EH⊥QD，所以EH∥x轴，所以l=（2/3）e－（4/9）；H∈QD，所以h=q。即H（q，（2/3）e－（4/9））
于是，
于是，
问：︱q－e︱怎么求解？
答：利用另一条腰长度等于QD，建立方程求解。
问：另一条腰是谁？
第二步：对另一条腰分类讨论
当DE为另一条腰，即DE=DQ，有如下信息
于是，当q=－2/3时，S△QDE有最大值27/（2√13）；
当QE为另一条腰，记QE=QD，有如下信息
整理（不要粗暴的拆分，我们的目标是计算q-e，不是计算e）
右侧，利用平方差公式，最终得
于是，当q=－2/3时，S△QDE有最大值54/13。两种情况进行比较，可知以QD为腰的△QDE的面积的最大值为54/13。
回顾：
问：我为什么选择QD为底？
答：心算可知QD的长度仅与Q、D的纵坐标相关，QD上的高仅与E、H的横坐标相关。初步估计，可以省去不少平方项和根号项，所以如是选。实际上，利用DE为底，计算量也还可以接受，大家可以试试。
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