玩转“截长补短”——突破中考数学压轴题

截长补短

【方法说明】

遇到求证线段和差及倍半关系时，可以尝试截长补短的方法．截长指在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短指将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．题目中常见的条件有等腰三角形（即两条边相等），或角平分线（即两个角相等），通过截长补短后，并连接一些点，构造全等得出最终结论．

【方法归纳】

1．如图，若要求证AB＋BD＝AC，可以在线段AC上截取线段AB′＝AB，并连接DB，证明B′C＝BD即可；或延长AB至点C′使得AC′＝AC，并连接BC′，证明BC′＝BD即可．

2．如图，若要求证AB＋CD＝BC，可以在BC上截取线段BF＝AB，再证明CD＝CF即可；或延长BA至点F，使得BF＝BC，再证明AF＝CD即可．

图（1） 图（2）

3．在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB＝AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形．

【典型例题】

（2009广州）如图，边长为1的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割为四个小矩形，EF与GH交于点P．

（1）若AG＝AE，证明：AF＝AH；

（2）若∠FAH＝45°，证明：AG＋AE＝FH；

（3）若Rt△GBF的周长为1，求矩形EPHD的面积．

【思路点拨】

（1）证明AF＝AH，因此先连接AH、AF．证明线段相等可考虑三角形全等的方法，观察发现只要证明Rt△ADH≌Rt△ABF（或Rt△AGH≌Rt△AEF）即可；

（2）证明AG＋AE＝FH这种线段和的问题，可以考虑截长补短，发现在FH上截取的方法不好证明，可以考虑补短的方法．本题可以考虑把AG＋AE转化为DH＋BF，延长延长CB至点M，使得BM＝DH，然后证明MF＝FH即可；

（3）由于矩形EPHD的边长并不知道，可以采用设未知数的方式，本题可以设ED＝x，DH＝y，则S矩形EPHD＝xy，根据Rt△GBF的周长为1，即可找到x与y的关系并求出面积．

【解题过程】

解：（1）连接AH、AF．

∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°．

∵ADHG与ABFE都是矩形，∴DH＝AG，AE＝BF，

又∵AG＝AE，∴DH＝BF．

在Rt△ADH与Rt△ABF中，∵AD＝AB，∠D＝∠B＝90°，DH＝BF，

∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF＝AH．

（2）【方法一】

延长CB至点M，使得BM＝DH，并连接AM，FH．

∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°．

∴∠D＝∠ABM＝90°，∴△ABM≌△ADH，∴AM＝AH，∠MAB＝∠DAH．

∵∠FAH＝45°，

∴∠MAF ＝∠BAF＋∠MAB＝∠BAF＋∠DAH＝90°－45°＝45°＝∠FAH

又∵AF＝AF，∴△AMF≌△AHF．∴MF＝HF．

∵MF＝MB＋BF＝HD＋BF＝AG＋AE，∴AG＋AE＝FH．

【方法二】

将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．

在△AMF与△AHF中，

∵AM＝AH，AF＝AF，∠MAF＝∠MAH－∠FAH＝90°－45°＝45°＝∠FAH，

∴△AMF≌△AHF．∴MF＝HF．

∵MF＝MB＋BF＝HD＋BF＝AG＋AE，∴AG＋AE＝FH．

（3）设ED＝x，DH＝y，则GB＝AB－AG＝1－y，BF＝BC－BF＝1－x，

∴在Rt△GBF中，GF2＝GB2＋BF2＝（1－y）2＋（1－x）2，

∵Rt△GBF的周长为1，∴GF＝1－GB－BF＝1－（1－x）－（1－y）＝x＋y－1，

∴（x＋y－1）2＝（1－y）2＋（1－x）2得xy＝1/2，

∴矩形EPHD的面积S＝ED·DH＝ xy＝1/2．