图1.1
1、如图1.1,△ABC中AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D,∠BAC=48°,CE、CF三等分∠ACB,分别
交AD于点E、F,连接BE并延长交AC于点G,连接FG,则∠AGF= .
解:∵∠A=48°,AC=AB, ∴∠ABC=∠ACB= 2 1 (180°-∠BAC)=66°,
设BG与CF交点为O,连接BF,
∵AB=AC,AD⊥BC, ∴BD=DC,
∴FB=FC, ∴∠FBC=∠FCB, 同理∠EBC=∠ECB,
∴∠FBE=∠FCE, ∵CE,CF三等分∠GCD,
∴∠FBE=∠FCE=∠FCG,
∵∠FOB=∠GOC, ∴△FOB∽△GOC,
∴ GC/CO=FC/ BC,
∵∠FOG=∠BOC ∴△FOG∽△BOC
∴∠FGO=∠BCO=2/3∠ACB=2/3 ×66°=44°
∴∠AGF=∠BGA-∠FGO =∠GBC+∠GCB-∠FGO =22°+66°-44°=44°
图2.1
2、已知,如图2.1,O为平面直角坐标系的原点。半径为1的⊙B经过点O,且与x、y轴分别交于点A、C,点A的坐标为(-√3,0),AC的延长线与⊙B的切线OD交于点D。
(1)求OC的长和∠CAO的度数;
(2)求过点D的反比例函数的表达式。
解:(1)∵∠AOC=90°,∴AC是⊙B的直径,∴AC=2
又∵点A的坐标为(-√3,0),OA=√3,
∴OC= √(AC²-OA²)=1
∴sin∠CAO=1/2 ∴∠CAO=30°
(2)连接OB,过点D作DE⊥X轴于点E,
∵OD为⊙B的切线, ∴OB⊥OC,∴∠BOD=90°,
∵AB=OB ∴∠AOB=∠OAB=30° ∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=30°+90°=120°
在△AOD中,∠ODA=180°-120°-30°=30°=∠OAD,∴OD=OA= √3
在Rt△DOE中,∠ODE=180°-120°=60° ∴OE=ODcos60°=1/2OD=√3/2
ED= ODsin60°=3/2 ∴点D的坐标为(√3/2,3/2)
设过D点的反比例函数的表达式为:y=k/x
∵k=√3/2×3/2=3√3/4,∴y=3√3/4x
图3.1
3、如图3.1,□ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过D,C作DE∥OC,CE∥OD.
(1)图中有若干对相似三角形,请至少写出三对相似(不全等的)三角形,并选择其中一对加以证明;
(2)求证:DM=1/2OB
解:(1)相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE,△AOM∽△ACE∽△EDM,△DNE∽△CNA等.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴△ABM∽△NDM,
∵CE∥OD, ∴△NDM∽△NCE,△AOM∽△ACE, ∴△ABM∽△NDM∽△NCE,
∵DE∥OC, ∴△EDM∽△AOM,△DNE∽△CNA, ∴△AOM∽△ACE∽△EDM;
∴相似三角形有△ABM∽△NDM∽△NCE,△AOM∽△ACE∽△EDM,△DNE∽△CNA;
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OB=OD,OA=OC,
又∵CE∥OD, ∴AM=ME, ∴OM=1/2CE,
∵CE∥OD,DE∥OC, ∴四边形DOCE为平行四边形,
∴CE=OD, ∴OM=1/2OD=1/2OB.
图4.1
4、如图4.1,已知二次函数y=(x-m)²-4m² (m>0)的图象与x轴交于A、B两点。
(1)写出A、B两点的坐标(坐标用m表示);
(2)若顶点P在以为直径圆上,求解析式;
解:(1)∵y=(x-m)²-4m²,
∴当y=0时,(x-m)²-4m²=0,
解得x₁=-m,x₂=3m, ∵m>0,
∴A、B两点的坐标分别是(-m,0),(3m,0)
(2)∵A(-m,0),B(3m,0),m>0,
∴AB=3m-(-m)=4m,圆的半径为1/2AB=2m,
∴OM=AM-OA=2m-m=m, ∴抛物线的顶点P的坐标为:(m,-2m),
又∵二次函数y=(x-m)²-4m²(m>0)的顶点P的坐标为:(m,-4m²),
∴-2m=-4m², 解得m₁=1/2 ,m₂=0(舍去),
∴二次函数的解析式为y=(x-1/2)²-1,即y=x²-x-3/4
图5.1
5、如图5.1,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且∠CAB=2∠BCP.
(1)求证:直线CP是⊙O的切线.
(2)若BC=2 √5,sin∠BCP= √5/5,求点B到AC的距离.
(3)在第(2)的条件下,求△ACP的周长.
解:(1)∵∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP,
在△ABC中,∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°, ∴∠BCP+∠BCA=90°,
∴直线CP是⊙O的切线.
图5.2
(2)如图5.2,作BD⊥AC于点D,
∵PC⊥AC ∴BD∥PC ∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2√5 ,sin∠BCP= √5/5,
∴sin∠BCP=sin∠DBC=DC/BC=DC/2√5=√5/5
解得:DC=2,∴由勾股定理得:BD=4,
∴点B到AC的距离为4.
(3)如图5.2,连接AN,
在Rt△ACN中,AC=CN/cos∠ACN=CN/sincos∠BCP =5,
又∵CD=2,∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3.
∵BD∥CP,∴BD/CP=AD/AC,∴CP=20/3.
在Rt△ACP中,AP=√(AC²+CP²)=25/3
AC+CP+AP=5+20/3+25/3 =20,
∴△ACP的周长为20.
图6.1
6、如图6.1,甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘,甲转盘被分成3个面积相等的扇形,乙转盘被分成4个面积相等的扇形,每一个扇形都标有相应的数字,同时转动两个转盘,当转盘停止后,设甲转盘中指针所指区域内的数字为m,乙转盘中指针所指区域内的数字为n(若指针指在边界线上时,重转一次,直到指针都指向一个区域为止).
(1)请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|>1的概率;
(2)直接写出点(m,n)落在函数y=-1/x 图象上的概率.
解:(1)画树状图如下:
或表格如下:
由树状图(表格)可知,所有等可能的结果有12种,其中|m+n|>1的情况有5种,
所以|m+n|>1的概率为P1=5/12;
(2)点(m,n)在函数y=-1/x上的概率为P2=3/12=1/4 。
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