易错点1 对空间几何体的结构认识不准确致错
例1 有一种骰子，每一面上都有一个英文字母，如图是从3个不同的角度看同一粒骰子的情形，请画出骰子的一个侧面展开图，并根据展开图说明字母H对面的字母是 .
【错解】P
【错因分析】空间想象能力差而乱猜一气，实际上可以动手制作模型，通过折叠得出答案.
【试题解析】将原正方体外面朝上展开，得其表面字母的排列如图所示，易得H对面的字母是O.
【参考答案】O
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1．对于平面图形折叠或空间图形展开的问题，空间想象能力是解题的关键，正确识图才能有效折叠平面图形、展开空间图形.而对于简单几何体的展开图，可以通过制作模型来解答.
2．关于空间几何体的结构特征问题的注意事项：
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
易错点2 不能正确画出三视图或还原几何体而致错
例2 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是
【错解】A或B或C
【错因分析】选A，俯视图判断出错，从俯视图看，几何体的上、下部分都是旋转体；
选B，下部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体；
选C，上部分几何体判断出错，误把旋转体当多面体.
【试题解析】由三视图可知几何体上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D.
【参考答案】D
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1．当已知三视图去还原成几何体时，要充分关注图形中关键点的投影，先从俯视图来确定是多面体还是旋转体，再从正视图和侧视图想象出几何体的大致形状，然后通过已知的三视图验证几何体的正确性，最后检查轮廓线的实虚．
2．三视图问题的常见类型及解题策略：
(1)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．
(2)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线，不能看到的部分用虚线表示．
(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合.
易错点3 空间几何体的直观图与原图面积之间的关系
例3 如图是水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为
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易错点4 空间几何体的表面积或体积计算不全致错
【错解】B或C或D
【错因分析】由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥，B项计算三角形面积时出错；截取小正三棱锥，即除去了六个全等的等腰直角三角形，但C项忽略了几何体多了两个等边三角形面；由三视图可知原几何体应该是一个正方体截取两个全等的小正三棱锥的组合体，D项计算三角形面积时出错，且计算时还少加了三棱锥的底面.
【参考答案】A
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1．柱体、锥体、台体的表面积
（1）已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．
（2）多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不遗漏.
（3）求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体展开为平面图形后再求面积.
2．柱体、锥体、台体的体积
空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度较小，属容易题. 求柱体、锥体、台体体积的一般方法有：
（1）若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
（2）若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等体积法、割补法等方法进行求解．
（3）若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
特别提醒
①等体积法：
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积.
②割补法：
运用割补法处理不规则的空间几何体或不易求解的空间几何体的体积计算问题，关键是能根据几何体中的线面关系合理选择截面进行切割或者补成规则的几何体.要弄清切割后或补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系，如果是由几个规则的几何体堆积而成的，其体积就等于这几个规则的几何体的体积之和；如果是由一个规则的几何体挖去几个规则的几何体而形成的，其体积就等于这个规则的几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积．因此，从一定意义上说，用割补法求几何体的体积，就是求体积的“加、减”法．
易错点5 问题考虑不全面致错
例5 已知半径为10的球的两个平行截面圆的周长分别是12π和16π，则这两个截面圆间的距离为.
【错因分析】错解中由于对球的结构把握不准，考虑问题不全面而导致错误.事实上，两个平行截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧.
【参考答案】2或14
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1．球的有关问题
（1）确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知球的体积或表面积也可以求其半径.
（2）球与几种特殊几何体的关系：
①长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；
②正四面体的外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3∶1；
③直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；
④球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；
⑤球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高．
（3）与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，正确建立等量关系.
2．求解空间几何体表面积和体积的最值问题有两个思路：
一是根据几何体的结构特征和体积、表面积的计算公式，将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值，根据平面图形的有关结论直接进行判断；
二是利用基本不等式或是建立关于表面积和体积的函数关系式，然后利用函数的方法或者利用导数方法解决.
易错点6 应用公理或其推论时出错
例6 已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？
【错解】A，B，C，D，E五点一定共面.
因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，
因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，
所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面.
【错因分析】错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件.实际上B，C，D三点有可能共线.
（2）若B，C，D三点共线于l，
若A∈l，E∈l，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；
若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面.
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1．证明点共线问题，就是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.常用方法有：
①首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知这些点都在这两个平面的交线上；
②选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上.
2．证明三线共点问题，一般先证明待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点.常结合公理3，证明该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线（第三条直线）上，从而证明三线共点.
3．证明点或线共面问题，主要有两种方法：
①首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面，然后再证其余的线（或点）在这个平面内；
②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合.
易错点7 忽略空间角的范围或不能正确找出空间角致误
如图，已知空间四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角为30°，则BC与AD所成的角为.
【错解】120°
如图，连接BD，并取中点E，连接EN，EM，则EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM为BC与MN所成的角，∠MEN为BC与AD所成的角，∴∠ENM=30°.又由AD=BC，知ME=EN，∴∠EMN=∠ENM=30°，∴∠MEN=180°-30°-30°=120°，即BC与AD所成的角为120°.
【错因分析】在未判断出∠MEN是锐角或直角还是钝角之前，不能断定它就是两异面直线所成的角，因为异面直线所成的角α的取值范围是0°<α≤90°，如果∠MEN为钝角，那么它的补角才是异面直线所成的角.
【试题解析】以上同错解，求得∠MEN=120°，即BC与AD所成的角为60°.
【参考答案】60°
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1．求异面直线所成的角的常见策略：
（1）求异面直线所成的角常用平移法．
平移法有三种类型，利用图中已有的平行线平移，利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移，利用补形平移．
（2）求异面直线所成角的步骤
①一作：即根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；
②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角；
③三求：解三角形，求出作出的角．
如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
（3）判定空间两条直线是异面直线的方法
①判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．
②反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
2．求直线与平面所成的角的方法：
（1）求直线和平面所成角的步骤
①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角；
③把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角．学科&网
（2）求线面角的技巧
在上述步骤中，其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，射影一般都是一些特殊的点，比如中心、垂心、重心等．
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