2018中考数学，考前非做不可的经典题解析!(3)

​如下图,△ABC内接于⊙O,CD平分∠ACB交⊙O于点D,过点D作PQ∥AB分别交CA,CB的延长线于点P,Q,连接BD

(1)求证:PQ是⊙O的切线;

(2)求证:BD²=AC・BQ;

(3)若AC,BQ的长是关于x的方程x+4/x=m的两实

数根,且tan∠PCD=1/3,求⊙O的半径

[思路解析]:(1)证明:因为PQ∥AB,∴∠ABD=∠BDQ=

∠ACD.因为∠ACD=∠BCD,所以∠BDQ=

∠BCD.连接OB,OD,则∠OBD=∠ODB,∠BOD=

2∠BCD=2∠BDQ.在△OBD中,因为∠OBD+

∠ODB+∠BOD=180°,所以2∠ODB+2∠BDQ=

180,所以∠ODB+∠BDQ=90°,即OD⊥PQ,所以PQ是⊙O的切线。

(2)证明:连接AD,则∠BCD=∠BAD.由(1)知

∠BCD=∠ACD=∠BDQ=∠ABD,所以∠BAD

∠ABD,所以以AD=BD.因为四边形ADBC是⊙O

的内接四边形,所以∠CAD=180°一∠DBC.因为

∠DBQ=180°ー∠DBC,所以∠CAD=∠DBQ.因为

∠BDQ=∠ACD,所以△BDQの△ACD,所认C

AD所以以BDP=AC・BQ
​​(3)解:方程x+4/x=m可化为x²-mx+4=0.因

为AC,BQ的长是关于x的方程x+4/x=m的两实

数根,所以AC・BQ=4.由(2),得BD²=AC・BQ,

所以BD²=4,所以以BD=2.由(1)知OD⊥PQ.因为

PQ∥AB,所以OD⊥AB.设OD交AB于点E.由

(1),得∠PCD=∠ABD.因为tan∠PCD=1/3,所以

tan∠ABD=1/3，所以BE=3DE,所所以DE²+

(3DE)²=BD²=4,所以以DE=v10/5,所以BE=3√10/5。设OB=OD=R,则则OE=R-√10/5，

因为OB²=OE²+BE²,所以R²=(R-√10/5)²+(3√10/5)²，解得R=√10,所以⊙O的半径为v10

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