对有理数乘法法则生成课例的教学反思

一、问题的提出

《有理数乘法》属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是学生在学会有理数加法后学习的又一运算类型，它与有理数的加法运算一样，也是以小学算术为基础，即有理数的乘法运算在确定“积”的符号后，其实质就是小学数学中的乘法运算.因此，教学的关键就是如何把中学有理数的乘法运算化归为小学数学中的乘法运算.由于有理数的乘法是有理数最基本的运算之一，所以它是进一步学习有理数运算的基础，也是今后学习实数运算、代数式运算、解方程以及函数知识的基础.学好这部分内容，对增强学生学习代数的信心具有十分重要的意义.

由于初一学生刚接触负数，对负数的意义理解不深，因此，与小学数学中的乘法比较，学生对含有负数，特别是两个负数相乘的意义理解，其思维角度变化较大，思维强度也增大.所以，本节课的重点是有理数乘法法则，难点是法则的生成（特别是符号法则的生成）.综上所述，在有理数乘法的教学过程中，法则的生成应成为课堂教学中重难点的突破点.笔者曾先后听了《有理数乘法（1）》的两节课，这两节课设计的教学框架基本相同，分为以下三个环节：

环节1：回顾小学学过的数及其运算类型，结合刚学完的有理数的概念、有理数加法，提出本节课的学习任务——“有理数的乘法”；

环节2：引导学生在探究中归纳得出有理数乘法法则；

环节3：有理数乘法法则的简单应用及从中得出的倒数的定义.

这两节课的不同之处主要在于环节2中的细节处理上.具体实施时，两节课都在45分钟内完成了教学，在学生的练习反馈上，学生似乎也都会了，只是两节课上学生在看演示实验时的情绪、表情却相差很多.听完课后，笔者又认真研究了有理数乘法法则生成的教学，反复观看这两位教师的教学录像，追踪学生的思维过程，同时也调查了初一学生对有理数乘法的理解，再反思我们教师的日常教学，提出自己粗浅的见解，供大家参考.

二、有理数乘法法则生成的教学情境

情境A

问题1：小学时我们学了哪些数？学了哪些运算？我们从小学升到中学，又学了什么数？又学了什么运算？

问题2：小学时，我们已经熟悉了正数及0的乘法运算，引入负数以后，怎样进行有理数的乘法运算呢？（出示课题）

问题3：如图1，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰好在点O上.我们规定：向左为负，向右为正，现在前为负，现在后为正.看看它以相同速度沿不同方向运动后的情况吧！（借助多媒体技术，逐一进行实验演示）

由上可知：

（1）2×3=____；

（2）（-2）×3=____；

（3）（+2）×（-3）=____；

（4）（-2）×（-3）=____；

（5）两个数相乘，一个数是0时，结果为0.教师进行动画演示，要求学生在观察的同时完成填空.

问题4：观察上面的式子，你有什么发现？能说出有理数乘法法则吗？

随后教师引导学生归纳出法则.

情境B

问题1：我们小学时学过了正数和0的四则运算及其运算律，升入中学后又学了什么数、什么运算？还应学什么运算呢？教师出示课题.

问题2：有理数按其性质符号可分为哪几类？由此，请同学们想一想有理数相乘会有几种类型？除去小学时已经会的正数乘正数、正数乘以0后，若将其余的情形沿用小学已学的乘法交换律，又可简化为几种？（教师将学生的结论写在黑板上，指出今天的学习任务即为解决负数乘正数、负数乘负数、负数乘0的问题）

问题3：同学们能将今天的任务具体到三道题目吗？（教师将学生任意出的相应的题出示在题板上：（-6）×（+5），（-7）×0，（-2）×（-3），再提问）这些题怎么算呢？教师引导学生对这三道题逐一进行分析讨论.

首先研究（-6）×（+5）：

生1：（-6）×（+5）=-30.

教师问：为什么呢？

生1：5×6=30，而-6有负号嘛.

生2：根据法则嘛.

生3：因为-6的绝对值大于+5的绝对值，所以结果为负.

生4：根据小学的经验，（-6）×（+5）就表示5个（-6）相加，和是-30.

教师与学生共同分析得出，生4的方法最合理.

接着研究（-7）×0：

生齐答：任何数与0相乘都得0.

最后研究（-2）×（-3）：

生5：（-2）×（-3）=+6.

师：为什么不是-6呢？能否也用小学时的经验进行思考？

教师引导学生一起寻求解题的思路：首先，（-2）×0=0，而怎样的两个数相加会得0呢？比如（-3）+（+3）=0，所以（-2）与0相乘就可以看成（-2）与（-3）+（+3）相乘，依据小学时的分配律，就等于（-2）×（-3）+（-2）×（+3），由前面可知，（-2）×（+3）=（-2）+（-2）+（-2）=-6，所以（-2）×（-3）就是-6的相反数+6，即（-2）×（-3）=+6.

问题4：以上三道题的解决都沿用了同学们小学时已经学过的知识，也就是在假设小学的运算律对中学的有理数仍能适用的前提下得到的，那么，所得的答案是否符合实际情形呢？请同学们观察以下实验：如图1，一只蜗牛沿直线l爬行，它现在的位置恰好在点O上.我们规定：向左为负，向右为正，现在前为负，现在后为正.看看它以相同速度沿不同方向运动后的情况吧！（借助多媒体技术，逐一进行实验演示）

问题5：观察上面实验中得出的式子，再结合我们刚才假设下得出的结论，你有什么发现？由此，你能总结出关于有理数乘法的规则吗？

随后教师引导学生归纳出法则.

三、两节有理数乘法法则生成课例的教学反思

1.有理数乘法法则为什么要从符号和绝对值两方面进行规定

在课余，笔者曾口头调查过一些学生，发现学生的回答很不一致：

生1：课本中的法则就是这么写的.

生2：这样会好记些吧？老师让大家就是先定符号再定绝对值的.

生3：因为有理数加法的法则也是从这两方面进行定义的，乘法也差不多吧.

显然，这些回答都是“答非所问”，原因就是很多学生根本没有思考过这个问题，或者教师在课堂上也根本没问过这个问题.所以，学生对于这法则的得出，或是源于教师的课堂教学，或者就是从书上看来的，而很少有从有理数本身的角度去研究有理数乘法法则的.反思这两节课中法则的生成过程，两位教师都是从已有知识出发，通过探究，归纳出法则，再到巩固应用，而缺少了一个环节——让学生归纳出法则后，再得出有理数与有理数相乘后所得的积仍是有理数，所以法则的实质就是为了确定“积”这个有理数.事实上，有理数的加、减、乘、除的结果都仍是有理数，我们的教师若能在生成法则后都及时进行这一本质的回归，则既能提高学生的学习效率，又能对培养学生的思维能力起到积极的效果.

2.有理数乘法法则与有理数加法法则之间的迁移关系

有理数乘法是继有理数加法后的又一运算类型，它与加法都属于有理数的基本运算，学生刚学完有理数的加法，体验到有理数的运算来源于生活又用于解决实际问题，能让学生对后续的有理数的运算产生学习的动力；有理数的加法法则是从符号和绝对值两方面进行考虑的，这有利于有理数乘法法则归纳思路的形成；小学时学过的加法运算律对有理数加法仍能适用，这种经验对于研究有理数乘法法则也是很有用的.这些都是正迁移，这种迁移能让学生将面临的新问题与已经会的旧知识联系起来学习，对后续的学习很有帮助.但是，有理数乘法与加法毕竟不同，在研究有理数的乘法法则时，有理数加法的法则也会对其造成负迁移.因为两个法则都是从符号和绝对值两部分进行规定，特别是符号部分，都分同号与异号两种情形，而已经学过的加法法则容易对刚学的乘法法则造成记忆上的干扰，正如情境B中生3的回答，正是将加法法则用于解决乘法问题的错误例子.我们知道，所有的新知识的学习都涉及迁移，先前的知识可以帮助或妨碍学生对新知识的学习，因此，我们教师要善于通过分析、研究新旧知识在内容与方法上的联系与区别，以帮助学生全面、准确、深刻地了解所学知识内容的本质特征以及知识之间的内在联系，促进新旧知识的积极迁移.

3.利用数轴通过蜗牛运动的实验对生成有理数乘法法则的有效性

提出这一问题，主要源于有理数加法与有理数乘法本质上的不同及学生的实际反馈.众所周知，学生的数学知识主要来源于两个方面：一是已有知识，二是生活实践.从本质上看，相对而言，有理数加法与学生的生活经验联系的更直接，也就更能体现一种直观上的累积，所以有理数加法法则的生成，先从计算足球赛的净胜球数等许多的生活实例引入，主要是借助数轴上一个物体的左右运动实验直接得出的，直观而有效.而有理数乘法则不同，它是在保持小学已有的乘法及其运算律不变的基础上，对运算中数的范围扩大到有理数后的情形.所以，有理数乘法法则的生成过程，从本质上看就是数理上的探索过程，也就应该考虑数学本身的继承与发展.对于有理数乘法法则，学生相关的已有知识主要有：小学时学过的正数与正数相乘，正数与0相乘及乘法交换律、分配律，中学里刚学完的有理数的加法法则及其从符号和绝对值两方面进行归纳的思路.本节教材也仍然借助数轴来研究有理数的乘法，两节课中教师也都用到了，不同的是：情境A中，教师将该实验作为法则生成的主要载体；情境B中，教师先引导学生回忆小学时已学的乘法知识，接着假设这些知识在有理数范围内仍能适用，巧妙地推理出运算结果，然后去猜想有理数乘法法则，再利用该实验进行验证，最后师生一起提炼出数系扩大到有理数范围后的乘法法则.在课后，笔者也曾向学生了解他们对该实验的评价，许多学生觉得实验中既要分时间上的先后又要分方向上的左右，觉得很麻烦，用学生的原话概括：晕乎乎的！其实，不仅是学生觉得理解有困难，就是教师本身在演示过程中出现表述不清的现象也很常见.因此，笔者认为本节教材中的数轴实验只宜用于验证.值得一提的是，在情境B的生成过程中，学生不仅收获了法则的生成，同时更经历了一次很有意义的理性思维过程，其思维能力无疑也得到了提升.

总之，有理数乘法作为有理数基本运算之一，因其有负数的参与，学生对它的学习往往会产生许多问题.如果我们教师能在教学素材的选用上优化教学内容，在引导问题的启发性上尽量让学生感受和体验知识的产生和发展过程，在数学思想方法的应用上注重分类讨论、数形结合、类比等思想方法的渗透，在知识的拓展与创新上重视知识的积极迁移，让学生在探究中培养起理性思考能力，对学生后续研究有理数以及实数等的相关运算都将起到积极的作用.

参考文献：

[1]中学数学课程教材研究开发中心.义务教育课程标准实验教科书·数学·七年级上册[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]中华人民共和国教育部制订.全日制义务教育数学课程标准(实验稿)[S].北京：北京师范大学出版社，2001.

[3]王光明.高效数学教学行为的归因[J].数学教育学报，2010，19(5)：75-79.

[4]王光明.高效数学教学行为的特征[J].数学教育学报，2011，20(1)：35-38.