灵机一动| 第171期等差数列

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 171

等差数列

自然数a，b，c是以5为公差的等差数列，且a<b<c。a，b，c依次是37，31，25的倍数，求满足条件的b的最小值？

来源：兴趣部落 @零度

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上期问题回顾

NO. 170

五角幻方

一个五角星，有五条边，十个点，每条边上恰好有四个点。问：能否将1到10这十个数填在10个点上，使得每条边上的四个数之和都相等？

来源：林开亮

分析与解答

解答 | 老王

答案：题目的要求无法实现。

证明：一、首先观察图形不难发现每个数都是两条线的交点（即使用了两次），由于1到10相加得55，所以五条线的和为110，每条线的和都是22。

二、显然与10共线的数有6个，如果里面不包括1，这6个数的和至少是27（2到7的和），再加20等于47（即经过10的两条线的和为47），但每条线的和是22，两条线的和是44，矛盾，因此1和10必须在一条线上。

三、与1共线的数有6个，其中不与10共线的有三个，设为a、b、c。显然a b c=21。

四、由于与10共线的数有6个，所以不与10共线的数有三个，设为x、y、z。与10共线的2组数（每组3个）的和都是12，所以这两组数加上10（共7个数）的和为34，由于全部10个数的和为55，因此x y z=21。

五、设1和10在L1上；1、a、b、c在L2上；经过10的另外一条线为L3。考虑L2和L3必有交点（该交点不可能是1和10），则该交点必然在a、b、c中。

假设a是交点，则a与10共线，b、c不与10共线（因为b、c不在L1和L3上）。显然b、c必然是x、y、z中的两个，设b=y，c=z。

显然a≠x（a与10共线，x与10不共线），但a b c=21，x y z=x b c=21，有a=x，矛盾。

因此题目的要求无法实现。

更多解答请参看

题友解答精选

◎题友 @乐乐 的解答：

不可能。反证法，假设存在一种排列满足五条边数字和相等，由于每个点恰好出现在两条边上，所以每条边数字和为55*2/5=22。有两条边通过点10，这两条边上有七个点，除了点10外各不相同。与点10没有在一条边的有三个点，这三点任意两点都有一条公共边经过这两点，三点之和为55-22*2 10=21。这三点的集合只有三种可能：1.｛6，7，8｝，则与点10在一条直线上的两组三点集合只可能分别是｛1，2，9｝和｛3，4，5｝，与点6，8在一条边线上的另外两个点应从集合｛1，2，9｝和｛3，4，5｝中各取一点，且和为8，但这是不存在的；2.｛5，7，9｝，则与点10在一条直线上的两组三点集合只可能分别是｛1，3，8｝和｛2，4，6｝，与点7，9在一条边上的另外两点需从集合｛1，3，8｝和｛2，4，6｝中各取一点，且和为6，这也是不可能的；3.｛4，8，9｝，则与点10在一条直线上的两组三点集合只可能分别是｛2，3，7｝和｛1，5，6｝，与点8，9在一条边上的另外两点需从集合｛2，3，7｝和｛1，5，6｝各取一点，且和为5，同样是不可能的。综上，不存在这样的填法。