平面几何题目讲解

设△ABC 的内切圆⊙I BC D，I 是内心，DP 为⊙I P BC AC QI BQ 的垂R点。求证：∠QRA=∠PIR。

证明角度相等，貌似两个角没有什么联系。可以从图形出发先找几何关系

    1.  BDIR四点共圆，直径为BI

           IF⊥AB， BDIRF 五点共圆

     2.  同理EQPRI 五点共圆

PQ和QE为圆I的切线，

PQ∥DC，∠PQC=180°-C   

∠IQE=(180°-C /2)=90°-(C/2)

∴∠QIE=(C/2)，∠PIE= C=∠PRE(或者由PQER四点共圆得到）

 进一步可得

∠FRQ=180°-∠BRF  

 ∠FRI=180°-(B/2)  ，∴∠FRB  = 90°-(B/2)  

∴∠FRQ=90°+(B/2)，∠QRE=(C/2)

∴∠FRE=90°+(B/2)+(C/2)=180°-(A/2)

A为过FRE三点的外接圆的圆心

最后得到A为三角形FER的外心，可得到基本关系

∠FRQ=180°-∠BRF  

 ∠FRI=180°-(B/2)  ，∴∠FRB  = 90°-(B/2)  

∴∠FRQ=90°+(B/2)，∠QRE=(C/2)

∴∠FRE=90°+(B/2)+(C/2)=180°-(A/2)

A为过FRE三点的外接圆的圆心

也可以根据BIRF四点共圆∠FRJ=(B/2)，∴∠FRQ=90°+(B/2)

AF=AR=AE

∠ARQ=∠ARE-∠QRE=∠ARE-(C/2)=∠AER-(C/2)=∠PER=∠PIR