我们在学习图形的旋转内容时,最常见的就是构造全等三角形,在此基础上探索线段、角之间的关系,包括数量关系和位置关系,在学习矩形内容时,通常将四边形问题转化成三角形问题,显然在矩形中,最容易构造的是直角三角形。
将矩形与旋转结合起来,那便具备了上述所有特征,相对而言,在这个前提下,求线段比值在九年级上学期对学生要求较高,更考验学生的几何基本功,即识图辨图构图。
题目
如图,在矩形OABC中,OA=4,AB=3,将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到矩形OA'B'C',此时,直线OA'、直线B'C'分别与直线BC相交于P、Q.
(1)①当α=90°时,BP:BQ=__________;
②当α=60°时,连接OQ,如图1,判断△POQ的形状,并说明理由;
(2)如图2,当矩形OA'B'C'的顶点B'落在直线BC上时,求BP:BQ;
(3)在矩形OABC的旋转过程中,当0<α≤180°时,是否存在这样的点P和点Q,使BP:BQ=1:2?若存在,请直接写出此时PC的长;若不存在,请说明理由.
解析:
(1)①旋转角是特殊角时,画出图形,基本上可以秒答,如下图:
显然点P与点C重合,于是BP=4,BQ=7,结果为4:7;
②又是特殊角,那便先找图中等于60°的角,第一个60°角是∠OPQ,它和∠AOP(旋转角)是内错角;第二个60°角是∠CQB',它和∠OPQ是内错角;
由于旋转前后OC=OC',同时它们还有一个身份:点O到∠CQC'两边的距离,所以可得OQ平分∠CQC',显然∠CQC'=120°,于是第三个60°角是∠OQC,现在再来看△POQ,包含两个60°角,因此它是等边三角形;
除这种方法外,当然可以证明△OCQ≌△OC'Q,或者用等面积法(同底等高);
(2)旋转过程中,顶点B'落在直线BC上,原本有两种情况,但与点B重合那种不算,因为重合后P点不存在了;
在图2中,一对“蝴蝶型”全等非常显眼,△OPC≌△B'PA',不妨设PC=x,则A'P=x,而OA'=4,可表示出OP=4-x,因此在Rt△OPC中,利用勾股定理列方程,9+x²=(4-x)²,解得x=7/8;
现在可求出BP=4+7/8=39/8.
然后我们来求BQ,最简单的方法是连接OB,如下图:
由于OB=OQ,OC⊥BC,由等腰三角形“三线合一”可得BQ=2BC=8;
也可利用前面结果来求,先求PQ=OP=4-7/8=25/8,所以BQ=39/8+25/8=8;
最后求比值为BP:BQ=39:64;
(3)无论图1还是图2,点P都出现在线段BQ上,这可并不代表它只能在这个位置,仔细读题,点P是如何得到的?
直线OA'与直线BC的交点,这意味交点P可以在线段BQ上,或在线段BQ的延长线上;
第一种情况:点P在线段BQ上,如下图:
此时点P是线段BQ的中点,过点Q作QE⊥OA'于点E,构造出一对全等三角形,即△OPC≌△QPE,它们的全等条件包括一对直角,一个公共角,以及OC=QE;
既然求PC的长,干脆就设PC=y,则BP=4-y,所以PQ=BP=4-y,由全等可得OP=PQ=4-y,在Rt△OPC中,再次利用勾股定理列方程,(4-y)²=y²+9,和前面所列方程几乎一样,解得y=7/8,即PC=7/8;
第二种情况:点P在线段BQ的延长线上,如下图:
此时点P在射线QB上,PC所在的直角三角形是△OPC,有一条边OC=3,另一条边OP未知,那它会和图中哪条线段有关联呢?
观察△OPQ,其中∠POQ=∠POC+∠COQ,另一个∠PQC=90°-∠COQ,似乎有点关联,我们继续找……
∠AOA'=∠COC',均为旋转角,我们还能轻易找到一对全等三角形,即△COQ≌△C'OQ,利用HL可证;所以∠COC'=2∠COQ,而∠POC=90°-∠AOA',回到前面∠POQ的表示结果中,
∠POQ=90°-∠AOA'+∠COQ
=90°-2∠COQ+∠COQ
=90°-∠COQ
=∠PQC
原来△OPQ是一个等腰三角形!
设PC=t,则BP=t-4,BQ=2t-8,于是PQ=3t-12=OP,仍然在Rt△OPC中利用勾股定理列方程,(3t-12)²=t²+9,解得t=9/2±3√6/4,舍去负值,结果为9/2+3√6/4;
还剩下一个小问题追问,点P会不会在射线BQ上呢?不需要证明了,看下图即可:
OA'∥B'C',它们所在直线与直线BC的两个交点是P、Q,在旋转范围内,点P无论如何也追不上点Q的.
解题反思
此题对所有学生比较友好,上手容易,并且难度增加的梯度很合理,并且第2小题求比值,第3小题给出比值求线段长,从不同侧面考察学生对线段比值在矩形旋转中的掌握情况。
实际上,在八年级下册学习矩形的过程中,教材习题中就有类似这样的图形,只是当时被手拉手模型的风头给盖过了,绕某个顶点旋转,本来也是手拉手模型的条件之一,但本题走出了套路,利用的全等三角形有蝴蝶型、共边共角型等,但毫无例外地在求线段长的时候,用到了勾股定理,这也是数与形结合最常用的方法。
本题中给出了矩形两条边长,在某种意义上降低了难度,原本比值类问题,是可以设置成不给具体长度数值,这又涉及到设参和消参,所以,还是让学生们好好过春节吧!
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