我们在学习图形的旋转内容时，最常见的就是构造全等三角形，在此基础上探索线段、角之间的关系，包括数量关系和位置关系，在学习矩形内容时，通常将四边形问题转化成三角形问题，显然在矩形中，最容易构造的是直角三角形。
将矩形与旋转结合起来，那便具备了上述所有特征，相对而言，在这个前提下，求线段比值在九年级上学期对学生要求较高，更考验学生的几何基本功，即识图辨图构图。
题目
如图，在矩形OABC中，OA=4，AB=3，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到矩形OA'B'C'，此时，直线OA'、直线B'C'分别与直线BC相交于P、Q.
(1)①当α=90°时，BP:BQ=__________；
②当α=60°时，连接OQ，如图1，判断△POQ的形状，并说明理由；
(2)如图2，当矩形OA'B'C'的顶点B'落在直线BC上时，求BP:BQ；
(3)在矩形OABC的旋转过程中，当0<α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP:BQ=1:2？若存在，请直接写出此时PC的长；若不存在，请说明理由.
解析：
(1)①旋转角是特殊角时，画出图形，基本上可以秒答，如下图：
显然点P与点C重合，于是BP=4，BQ=7，结果为4:7；
②又是特殊角，那便先找图中等于60°的角，第一个60°角是∠OPQ，它和∠AOP(旋转角)是内错角；第二个60°角是∠CQB'，它和∠OPQ是内错角；
由于旋转前后OC=OC'，同时它们还有一个身份：点O到∠CQC'两边的距离，所以可得OQ平分∠CQC'，显然∠CQC'=120°，于是第三个60°角是∠OQC，现在再来看△POQ，包含两个60°角，因此它是等边三角形；
除这种方法外，当然可以证明△OCQ≌△OC'Q，或者用等面积法(同底等高)；
(2)旋转过程中，顶点B'落在直线BC上，原本有两种情况，但与点B重合那种不算，因为重合后P点不存在了；
在图2中，一对“蝴蝶型”全等非常显眼，△OPC≌△B'PA'，不妨设PC=x，则A'P=x，而OA'=4，可表示出OP=4-x，因此在Rt△OPC中，利用勾股定理列方程，9+x²=(4-x)²，解得x=7/8；
现在可求出BP=4+7/8=39/8.
然后我们来求BQ，最简单的方法是连接OB，如下图：
由于OB=OQ，OC⊥BC，由等腰三角形“三线合一”可得BQ=2BC=8；
也可利用前面结果来求，先求PQ=OP=4-7/8=25/8，所以BQ=39/8+25/8=8；
最后求比值为BP:BQ=39:64；
(3)无论图1还是图2，点P都出现在线段BQ上，这可并不代表它只能在这个位置，仔细读题，点P是如何得到的？
直线OA'与直线BC的交点，这意味交点P可以在线段BQ上，或在线段BQ的延长线上；
第一种情况：点P在线段BQ上，如下图：
此时点P是线段BQ的中点，过点Q作QE⊥OA'于点E，构造出一对全等三角形，即△OPC≌△QPE，它们的全等条件包括一对直角，一个公共角，以及OC=QE；
既然求PC的长，干脆就设PC=y，则BP=4-y，所以PQ=BP=4-y，由全等可得OP=PQ=4-y，在Rt△OPC中，再次利用勾股定理列方程，(4-y)²=y²+9，和前面所列方程几乎一样，解得y=7/8，即PC=7/8；
第二种情况：点P在线段BQ的延长线上，如下图：
此时点P在射线QB上，PC所在的直角三角形是△OPC，有一条边OC=3，另一条边OP未知，那它会和图中哪条线段有关联呢？
观察△OPQ，其中∠POQ=∠POC+∠COQ，另一个∠PQC=90°-∠COQ，似乎有点关联，我们继续找……
∠AOA'=∠COC'，均为旋转角，我们还能轻易找到一对全等三角形，即△COQ≌△C'OQ，利用HL可证；所以∠COC'=2∠COQ，而∠POC=90°-∠AOA'，回到前面∠POQ的表示结果中，
∠POQ=90°-∠AOA'+∠COQ
=90°-2∠COQ+∠COQ
=90°-∠COQ
=∠PQC
原来△OPQ是一个等腰三角形！
设PC=t，则BP=t-4，BQ=2t-8，于是PQ=3t-12=OP，仍然在Rt△OPC中利用勾股定理列方程，(3t-12)²=t²+9，解得t=9/2±3√6/4，舍去负值，结果为9/2+3√6/4；
还剩下一个小问题追问，点P会不会在射线BQ上呢？不需要证明了，看下图即可：
OA'∥B'C'，它们所在直线与直线BC的两个交点是P、Q，在旋转范围内，点P无论如何也追不上点Q的.
解题反思
此题对所有学生比较友好，上手容易，并且难度增加的梯度很合理，并且第2小题求比值，第3小题给出比值求线段长，从不同侧面考察学生对线段比值在矩形旋转中的掌握情况。
实际上，在八年级下册学习矩形的过程中，教材习题中就有类似这样的图形，只是当时被手拉手模型的风头给盖过了，绕某个顶点旋转，本来也是手拉手模型的条件之一，但本题走出了套路，利用的全等三角形有蝴蝶型、共边共角型等，但毫无例外地在求线段长的时候，用到了勾股定理，这也是数与形结合最常用的方法。
本题中给出了矩形两条边长，在某种意义上降低了难度，原本比值类问题，是可以设置成不给具体长度数值，这又涉及到设参和消参，所以，还是让学生们好好过春节吧！
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