2021武汉中考数学卷第23题解析，解题关键是构造全等和相似

如果学生不能熟练掌握三角形全等和相似的性质，并进行灵活运用，将无法完整做出此题。这道题考查了三角形全等和相似、勾股定理的运用等知识。下面，我们就一起来看这道例题吧！

例题：（2021·武汉中考第23题）问题提出

如图（1），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=AC，EC=DC，点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．线段AF，BF，CF之间存在怎样的数量关系？

问题探究

（1）先将问题特殊化如图（2），当点D，F重合时，直接写出一个等式，表示AF，BF，CF之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点D，F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

问题拓展

如图（3），在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE=90°，BC=kAC，EC=kDC（k是常数），点E在△ABC内部，直线AD与BE交于点F．直接写出一个等式，表示线段AF，BF，CF之间的数量关系．

分析：大家想要正确解答一道数学题，必须先将思路大致弄清楚。下面就简单分析一下此题的思路：

（1）先证明△ACD≌△BCE，则△CDE为等腰直角三角形，故DE=EF=√2 CF，进而求AF，BF，CF之间的数量关系；

（2）由（1）可知，△ACD≌△BCE，再过点C作CG⊥CF交BF于点G，证明△BCG≌△ACF，得到△GCF为等腰直角三角形，则GF=√2 CF，即可求解；

（3）证明△BCE∽△CAD和△BGC∽△AFC，得到线段比例式，再结合BG=kAF，GC=kFC，运用勾股定理进而求解．

解答：（以下的过程仅供参考，部分过程有所省略，并且可能还有其他不同的解题方法）

（1）如图（2）所示，

∵∠ACD+∠ACE=90°，∠ACE+∠BCE=90°，

∴∠BCE=∠ACD，

∵BC=AC，EC=DC，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴BE=AD，∠EBC=∠CAD，

而点D、F重合，故BE=AD=AF，

而△CDE为等腰直角三角形，

故DE=EF=√2CF，

则BF=BD=BE+ED=AF+√2CF，

即BF-AF=√2CF；

（2）如图（1）所示，

由（1）可知，△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAF=∠CBE，BE=AD，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，（构造全等三角形）

∵∠ACF+∠ACG=90°，∠ACG+∠GCB=90°，

∴∠ACF=∠BCG，

∵∠CAF=∠CBE，BC=AC，

∴△BCG≌△ACF（ASA），

∴GC=FC，BG=AF，

故△GCF为等腰直角三角形，

则GF=√2CF，

∴BF=BG+GF=AF+√2CF，

即BF-AF=√2CF；

（3）由（2）知，∠BCE=∠ACD，

而BC=kAC，EC=kDC，

即BC/AC＝EC/CD＝k，

∴△BCE∽△ACD，

∴∠CAD=∠CBE，

如图（3）所示，

过点C作CG⊥CF交BF于点G，（构造相似三角形）

由（2）知，∠BCG=∠ACF，

∴△BGC∽△AFC，

∴BG/AF＝BC/AC＝k=GC/CF，

∴BG=kAF，GC=kFC，

在Rt△CGF中，

GF=√k^2+1 ·FC（k^2+1在括号中）

∵BF=BG+GF，

∴BF-kAF=√k^2+1 ·FC.

（完毕）

这道题是关于三角形全等和相似的综合题，解决本题的关键是构造全等和相似三角形，根据要求进行等量代换。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家给“数学视窗”留言或者参与讨论。