高中数学圆锥曲线技巧之“齐次化”

高三还有二十多天如何提升？解几大题秒杀！

先来看一下2020年山东压轴题解析几何。这题在考场上想必难倒了很多考生。死算是最直接的方法，但不可取。基本功虽需要，但这个题恶心的地方在于后面有一步死算会极其艰难，后面会提到

该图的第三行，也就是那个式子的因式分解，正常人分解不出来，我敢说就算一线教师，一时也难以迅速分解出来，而这就是这道压轴题的一道坎！

那么，齐次化又该如何去解决呢？

  首先，我们需要了解，什么是齐次化。所谓齐次化，实则就是对等式的一个处理，使得各项参数系数相同。

  举个简单的例子

上述就是一个简单的二次齐次方程。

明白的什么是齐次化，那就进入到第二步了。怎么齐次化？

 上面举了一个三角恒等变化换的例子，而提到三角恒等变换 ，大家又是否想到了“1”的代换呢？下面继续放图（手机发文，对于打不出来的符号，up只能写出来啦）

那么，问题又来了，这是解析几何，又哪儿来的三角恒等变换呢？（其实吧，有些解几题目很适合用三角函数解答，这里不做作解释，以后可能会详谈的）

回归正题，这里需要一个手法，就是直线系方程。对于这个名词大家可以不用深入了解，但以下这个方法可一定要掌握。（图又来了）

而齐次化这一绝招，就需要用到第二点，可称之为：不过某定点的直线

  理解起来其实非常简单，点（2，1）代入，方程成立就说明点在线上，不成立就说明点不在线上（没有看懂的小伙伴可以在下方评论留言，up可以下次做一期关于直线系方程，圆系方程的专题！）

对于齐次化而已，动点非常好找，一定是在椭圆上的，比如山东这一题，动点便是点A

那后续步骤呢？别急，容我先写出来

以上便是全部过程了！

值得一提的是，（y-1）/（x-2）表示的是过点A的直线的斜率，也就是本题中的直线AM,AN。（提醒，往往需要有斜率AM,AN之间的和或积的关系（可以用韦达定理）才适用此方法。当然，多数情况下，斜率的关系会被包装起来，这就需要我们的“慧眼”来识别了）

点评：该解法巧妙，且很实用。在考场上也能够应对自如，值得掌握。