全国高中数学联赛试题妙解<2>

未来的日子里，我会陆续发布一些经典数学试题的原创解法，也会和大家分享数学中的一些奇思妙想！

年全国高中数学联赛二试第三题

设是给定的两个正整数.证明：有无穷多个正整数，使得

分析：此题的关键是寻求的充分条件.回到最原始的问题：怎样的两个整数一定是互质的.很容易想到下面两个答案：
由同余的性质，若，则；
和没有公共的质因子.
由此我们给出下列种解答.

解法一：

记，则是整系数多项式.

取即可.

解法二：

任意的素因子，

取 即可.

解法三：解法二中(2)式可替换为

取 即可.

解法四：解法二中

取即可!

注：表示将进制表示后的数字和.