福建省南平市高级中学(353000)江智如
极值点偏移问题是近年高考与各类模拟考的热点,常以压轴题的形式出现,考查考生数学阅读水平与能力、抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力.因为此类问题依托函数极值知识与不等式性质,考查考生数学知识与数学思想方法的综合应用能力,所以试题综合性强,难度大,得分率低,体现选拔功能.尽管各类的文献从不同的角度总结各种解题方法和技巧,但基于高中学生认知发展规律的方法不多,高中学生对此类方法无法理解与掌握,对此类问题感到困惑,束手无策.为此,笔者根据教学实践,基于高中学生的认知水平能力,在逻辑推理的指引下,探究有效解决极值点偏移问题的解题策略.
一般地,若函数f(x)对定义域内任意自变量x 都有f(x)=f(2x0-x),则函数f(x)关于直线x=x0 对称,此时函数f(x)在对称轴两侧,函数值变化快慢相同.特别地,若x=x0 为f(x)的极值点,如果f(x)=c 的两根x1,x2,满足
本文研究的极值点偏移问题是指：“可导函数f(x),对于定义域内满足f(x1)=f(x2)的任意不同实数x1,x2,判断
在极值点偏移问题相关文献中,文[1]详细阐述极值点偏移问题并利用构造函数的方法解决此类问题,但作者没有探讨文章中的思路与方法如何推广到其他类型的问题；文[2]介绍极值点偏移的判定定理,并通过具体的例子介绍极值点偏移的解题方法,但方法比较抽象,不利于高中学生的理解与掌握,只会让学生依葫芦画瓢,无法举一反三；文[3]-文[9]“以题论题”,只对某一类题型提出相应的解决方法,没有探讨这类解题方法如何推广到其他类型的极值点偏移问题；文[10]给出“和”型极值点偏移问题的统一解法,遗憾的是没有探讨如何推广到“乘积”型或“比值”型问题；文[11]-文[13]从高数观点的视角,利用对数平均不等式和泰勒公式进行求解,超出了高中阶段数学知识的范围与水平；文[14]从竞赛角度探讨极值点偏移问题的本质与通法,对高中学生来说难度太大,不适合在高中数学教学中推广.因此探究适合高中数学教学讲授,让高中学生能够理解与掌握的解题策略与通法,是极值问题教学值得研究的课题.
为此,本文基于高中学生认知水平能力与发展规律,首先根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》[15] 与《2019年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明(理科)》[16]的要求,把极值点偏移问题归纳为五种题型：①无参数零点和型；②含参数零点和型；③导数值正负型；④零点乘积型；⑤零点比值型.然后从引导学生运用导数研究简单函数的性质和变化规律[15],培养学生会用导数解决实际问题[16]能力的视角,循序渐进,发挥学生的学习主动性,激发学生的最佳学习动机,在逻辑推理的指引下,探究归纳适合高中学生理解与掌握的有效策略与通法.
波利亚(Polya)将数学解题过程分为四个步骤：“弄清问题,拟定计划,实现计划,回顾反思”[17],从而可以顺利解决相关数学问题.基于这种解题思路,笔者将极值点偏移问题解题策略分为四个步骤逐步实施：
(I)求特殊点：根据题设讨论函数f(x)的单调性,求出f(x)的极值点(或特殊点)x=x0；
(II)构造函数：借助分析法,执果索因,把x1+x2 ＞(＜)2x0 转化为x1 ＞(＜)2x0 -x2,利用f(x)的单调性,等价转化为证明f(x1)＞(＜)f(2x0-x2),因为f(x1)=f(x2),所以等价为证明f(x2)＞(＜)f(2x0-x2),构造一元差函数F(x)=f(x)-f(2x0-x),把原问题等价转化为判断F(x)的正负符号；
(III)讨论单调性：通过导函数F′(x),讨论F(x)的单调性,确定F(x)的单调区间；
(IV)取特值得结论：根据F(x)的单调性,结合F(x0)=0,判断F(x)的正负符号,从而确定f(x),f(2x0-x)的大小关系,最终证明原结论.
以上步骤归纳为：“常规运算取特值,分析化归觅行踪,构造求导定单调,特值判断得结论”.特别地,
①证明题型
②求解零点乘积型问题时,可以借助对数性质,转化为ln x1 +ln x2 关系式,从而把问题等价转化为“和”型问题进行求解；
③零点比值问题利用换元变化
例1(2010年高考天津卷理科第21 题)已知函数f(x)=xe-x(x ∈R),若x1
解析 因为f′(x)=(1-x)e-x,所以可以判断f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而函数f(x)在x=1 处取得极大值
要证明：x1 + x2 ＞ 2,只要证2 - x1 ＜ x2,因为0 ＜x1 ＜1 ＜x2,所以2 - x1,x2 ∈(1,+∞).又f(x)在(1,+∞)上单调递减,故只需证f(x2)＜f(2-x1),由于f(x1)=f(x2),于是只要证明f(x1)＜f(2-x1).
构造函数H(x)=f(x)-f(2-x),x ∈(0,1),则问题等价于证明对x ∈(0,1),H(x)＜0 恒成立.因为
所以H(x)在(0,1)上单调递增,从而H(x)＜H(1)=0,即对∀x ∈(0,1),H(x)＜0 恒成立,因此x1+x2 ＞2 成立.
评析 本例是极值偏移问题的经典考题,类似的还有2011年辽宁理科第21 题,2013年湖南文科第21 题,我们只需按照解题通法步骤可以顺利解决,很好地诠释极值点偏移问题的解题思路与技巧,考查考生推理论证能力,化归与转化的思想,促进考生逻辑推理素养、数学运算素养的提升.
例2(2016年高考课标I 卷理科第21 题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点.
(I)求a 的取值范围；
(II)设x1,x2 是f(x)的两个零点,证明：x1+x2 ＜2.
解析(I)因为f(1)/=0,所以
有两个解等价于
令
当x ＜1 时,g′(x)＞0；当x ＞1 时,g′(x)＜0；故g(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且当x ＜1 时,g(x)＞0,当x ＞1 时,g(x)∈(-∞,+∞),故由
(II)由(I)知,不妨设x1 ＜1 ＜x2,要证明x1+x2 ＜2,只要证x1 ＜2-x2,因为x2 ＞1,所以2-x2 ＜1,由于g(x)在(-∞,1)上单调递增,故只需证明g(x1)＜g(2-x2),又g(x1)=g(x2),故只要证明g(x2)＜g(2-x2),即证g(x2)-g(2-x2)＜0.
构造函数F(x)=g(x)-g(2-x),(x ＞1),只需证明在(1,+∞)上,F(x)＜0.因为
所以令
则φ′(x)=(1 - x)(ex-e2-x).由于ex - e2-x ＞ 0,1-x ＜0,故φ′(x)＜0,于是φ(x)在(1,+∞)上单调递减,从而φ(x)＜φ(1)=0,因此F(x)＜0,即g(x)＜g(2-x),又x2 ＞1,故g(x2)＜g(2-x2),所以原不等式成立.
评析 本例原函数含有参数a,利用分离参数法,把函数的零点问题转化为曲线的交点问题,构造函数g(x),把含参问题化归转化为不含参问题,再通过通法步骤进行求解.考查考生化归与转化的思想,方程与函数的思想,以及推理论证能力与运算求解能力.对于含参数的极值点偏移问题的解题策略可以总结为：“尽量消去参数,转化为不含参数的问题求解”,即“一分离,二构造,三依通法四步走”.
例3(2018年福建南平5月理科第21 题)已知函数
(I)讨论函数f(x)的单调性；
(II)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明：
解析(I)因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以求导可得
(II)由(I)可知,当a ≤0 时,函数y=f(x)至多有一个零点,与已知条件不符,故a ＞0,从而f(x)的最小值为f(a),且f(a)＜0.要证明
不妨设0 ＜x1 ＜x2,则0 ＜x1 ＜a ＜x2,从而2a-x1 ＞a,由f(x)在(a,+∞)上单调递增可知问题等价于证明f(x2)＞f(2a-x1).因为f(x1)=f(x2),所以只要证明f(x1)＞f(2a-x1).
构造函数
则
于是F(x)在(0,a)上单调递减,故F(x)＞F(a)=0,即f(x)＞ f(2a - x),因为x1 ∈(0,a),所以f(x1)＞f(2a-x1),因此
评析 本例利用f(x)的单调性,把导数值正负的问题等价转化为证明
例4(2019年金太阳高二联考理科第21 题)已知
解析 要证明x1x2 ＞e2,只要证明ln x1+ln x2 ＞2.由已知可得f′(x)=ln x-mx,因为f(x)有两个极值点x1,x2,所以x1,x2 是f′(x)=ln x-mx=0 的两个不同实根.于是
有
解得
联立得
从而
又0 ＜x1 ＜x2,令
要证明
只要证
即证当t ＞1 时,有
令
故h(t)在(1,+∞)上单调递增,因为h(1)=0,所以h(t)＞h(1)=0,即当t ＞1 时,有
评析 本例证明结论为极值点的乘积形式,根据极值点偏移的思路,通过对数性质化为ln x1 +ln x2 ＞2,从而转化为“和”型问题求解.又由于函数f(x)含有参数m,故通过方程组的联立消去参数m,得到关于ln x1 与ln x2 的表达式,秉轴持钧,利用换元变化成函数h(t),讨论h(t)的单调性,借助h(t)的最值得到最终结论.考查了指对函数运算性质的知识,对考生的综合数学思想与数学能力提出较高要求,同时也考查考生对极值点偏移问题解题通法的理解与掌握情况,为考生解答提供广阔的发挥空间,使考生思维的广度和深度以及进一步学习的潜能得到展现,促进考生数学综合素养的提升.
例5 (2014年高考天津卷理科第20 题)设f(x)=x-aex(a ∈R),x ∈R,已知函数y=f(x)有两个零点x1,x2,且x1 ＜x2.证明：x1+x2 随着a 的减小而增大.
解析 由f(x)=x- aex=0,可得ln x=ln a+ x,即ln x - x=ln a,则ln x1 - x1=ln x2 - x2=ln a.令
令
再令
则
故h(t)在(1,+∞)上单调递增,从而h(t)＞h(1)=0,于是g′(t)＞0,因此g(t)在(1,+∞)上单调递增,则x1+x2 随着t 的增大而增大.
另一方面,因为函数y=f(x)的零点可等价为直线y=a 与函数
评析 本例所证明的结论虽不涉及极值点偏移问题,但其解题的思路需要依循极值点偏移的通法进行求解.因为要判断二元变量的单调性,所以可以考虑换元转化为一元变量,构造函数求解,考查化归与转化的思想.对于比值型的零点问题,常考虑换元变换为一元变量进行求解,可以减轻考生变量转化与运算求解的负担,有利于考生逻辑推理与数学运算素养的能力与水平的培养与提升.
“云散月明谁点缀,天容海色本澄清”.极值点偏移问题的本质是函数值变化快慢的问题,是导数在函数研究中的具体应用[15],对考生数学综合能力与素养的要求提出较高的要求,是培养考生逻辑推理能力的有效方法与途径,能够挖掘考生进一步数学学习潜能.波利亚(Polya)认为,中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”[18].在日常的教学中,教师可以从具体、计算量小的函数模型出发,引导学生理解掌握极值点偏移的解题策略与通法,从学生的认知发展水平出发,设计合理的“精致练习”[19],循序渐进地训练学生分析问题,构造函数,通过导数研究函数性质,解决实际问题,让学生体会数学学习的成就感,激发学生数学学习的兴趣和动力,促进学生综合数学素养的提升.
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