【模型引入】
什么是将军饮马?
“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”。
【模型抽象】
如图,在直线上找一点P使得PA+PB最小?
这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段,通过观察图形很难得出结果,关于最小值,我们知道“两点之间,线段最短”、“点到直线的连线中,垂线段最短”等,所以此处,需转化问题,将折线段变为直线段.
这类问题的解法主要是通过轴对称,将与定点相关的线段进行变化,将问题转化为定点到定点的距离问题或定点到定直线的距离问题,然后通过两点之间线段最短或点到直线之间垂线段最短,解决此类最值问题。
“PA+k·PB”型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。
1.当k值为1时,即可转化为“PA+PB”之和最短问题,就可用我们常见的“饮马问题”模型来处理,即可以转化为轴对称问题来处理;
2.当k取任意不为1的正数时,若再以常规的轴对称思想来解决问题,则无法进行,因此必须转换思路。
此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类,一般分为2类研究。即点P在直线上运动和点P在圆上运动。
(1)其中点P在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题;
(2)点P在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题。
今天我们就要学习“胡不归”问题的解题技巧和策略。
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