一道几何题,求正方形内一点所形成的角
已知P是正方形ABCD内一点,有PA=1, PB=2, PC=3, 求角∠APB的大小。
解:将正方形绕着B点反时针旋转90度, 那么A点落在A’点,D点落在D’点,点C与点A重合,P点落在P’点,这样的话B点没有动, C点跑到了A点,与A重合。可以得出下列图形,然后连接PP’。
很容易证明△APB全等于△A’P’B, 这样可以推出:
∠ABP=∠A’BP’.
90°=∠A’BA=∠A’BP’+∠ABP’
=∠ABP’+∠ABP
根据勾股定理:
所以:
在三角形APP’中,三个边AP=1, PP’=
恰好满足
根据勾股定理的逆定理,可知∠APP’=90°.
另外在前面已经证明的直角三角形PBP’中有PB=P’B,
所以∠P’PB=45°
因而∠APB=∠APP’+ ∠P’PB
=90°+ 45°
=135°
以上这种解法在等边三角形中也适用。
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