一道几何题，求正方形内一点和正方形两顶点所形成的角

一道几何题，求正方形内一点所形成的角

已知P是正方形ABCD内一点，有PA=1， PB=2， PC=3， 求角∠APB的大小。

解：将正方形绕着B点反时针旋转90度， 那么A点落在A’点，D点落在D’点，点C与点A重合，P点落在P’点，这样的话B点没有动， C点跑到了A点，与A重合。可以得出下列图形，然后连接PP’。

很容易证明△APB全等于△A’P’B, 这样可以推出：

∠ABP=∠A’BP’.

90°=∠A’BA=∠A’BP’+∠ABP’

=∠ABP’+∠ABP

根据勾股定理：

=

+

所以：

=4+4=8

在三角形APP’中，三个边AP=1， PP’=

, AP’=3,

恰好满足

=

+

根据勾股定理的逆定理,可知∠APP’=90°.

另外在前面已经证明的直角三角形PBP’中有PB=P’B,

所以∠P’PB=45°

因而∠APB=∠APP’+ ∠P’PB

=90°+ 45°

=135°

以上这种解法在等边三角形中也适用。