一道代数不等式题的证明

一道代数不等式的证明（两种证法）

已知三个非零的实数a, b, c满足, a+b+c=-2, 并且abc=-4, 证明：

证法1：

如果所有的a,b,c都是负的(没有一个可以是零)，那么2=|a|+|b|+|c|≥3，这意味着|abc|≤1与abc=−4矛盾（即|abc|=4）。因此，只能说两个是正数，一个是负数。假设a,b>0和c<0, (根据循环性，其它的是一样的).

如果a+b<2，则ab<1(利用算数平均数大于几何平均数可以证明)，那么由abc=-4 可以推出c≤−4。但从a+b+c=−2得到a+b>2。这与假定a+b<2矛盾。因此，a+b≥2，意味着c≤−4。最后,|a | + | b| + |c |≥6。

证法2：

首先用它们的负数x,y,z替换a,b,c，这样约束条件就变成

x + y + z = 2和xyz=4

并让F (x, y, z) = | x| + |y | + |z |。注意，从算数和几何不等式来看，三个x,y,z不可能都是正的。不丧失一般性,假设x> 0 且y<0, z<0。那么F (x, y, z) y = x−y−z = 2 x−2。

现在证明:x≥4。

假设与此相反x<4, 那么 0<−y−z=x−2<2

yz=(−y)(−z)≤(−y)(2+y)≤1, （因为(−y)(2+y)=-(y2+1)+1≤1,）

因为-y=x+z-2<4+z-2<2（因为假定x<2, 并且z<0)）

对于所有0 <−y≤2。

将yz=(−y)(−z)≤(−y)(2+y)≤1的两端乘以x得到。

xyz≤x，而假定x<4,

所以xyz<4, 这与已知的约束条件xyz=4相反

因此，x≥4，且F=2(x−1)≥6。

即证得|a|+|b|+|c|≥6