这道题求圆中阴影部分面积，巧妙运用相似三角形求出角度是关键

例题：（初中数学综合题）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，AD平分∠BDE．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=6，AE=3，求图中阴影部分面积．

知识回顾

垂径定理:垂直与弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两段弧。

直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度。

分析与解答：（请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。以下过程可以部分调整，并且可能还有其他不同的解题方法）下面就简单分析一下此题的思路：（1）连接OA，作半径证垂直，利用已知条件可以推出OA∥DE，进而证明OA⊥AE，即可得到AE是⊙O的切线；

（2）通过证明△BAD∽△AED，再利用对应边成比例得到线段之间的等量关系式，从而求出⊙O的半径长，再解直角三角形即可得到相关角的度数，进一步求出阴影部分的面积．

（1）证明：连接OA，（作半径证垂直）

∵OA=OD，

∴∠1=∠2．（图上标了数字，方便书写）

∵DA平分∠BDE，

∴∠2=∠3．

∴∠1=∠3．（等量代换）

∴OA∥DE．（内错角相等，两直线平行）

∵AE⊥CD于点E，

∴OA⊥AE．（平行线的性质）

又∵点A在⊙O上，

∴AE是⊙O的切线；

（2）解：∵BD是⊙O的直径，

∴∠BAD=90°．

∵AE⊥CD，即∠AED=90°，

∴∠BAD=∠AED，

又∵∠2=∠3，（有两个角对应相等）

∴△BAD∽△AED，

∴BD/AD=BA/AE，

∵BA=6，AE=3，

∴BD=2AD，（由计算推出）

∴∠ABD=30°，

（在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30度）

∴BD=AB/cos∠ABD=4√3，（解直角三角形）

∴OD=2√3，

延长AO交BC于H，连接OA，

则四边形AHCE是矩形，

∴∠AHC=90°，CH=AE=3，

∴BC=2CH=6，（垂径定理）

∴cos∠CBD=BC/BD=6/4√3=√3/2，

∴∠CBD=30°，

∴∠COD=∠AOD=60°，

（此处也可以由直角三角形求出角度）

∴△COD和△AOD都是等边三角形，

∴阴影部分面积=两个相同扇形-平行四边形

=60/360×π×(2√3)^2×2-2√3×3

=4π-6√3.

（完毕）

这道题是关于圆的综合题，有一定难度，考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是利用线段之间的关系求出角度。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。