此题是相似形与圆的综合，第三问比较复杂，构建参数方程是难点

例题：（初中数学综合题）如图，已知F为⊙O上的一点，过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D，过圆上的另一点B作AO的垂线，交DF的延长线于点M，交⊙O于点E，垂足为H，连接AF，交BM于点G．

（1）求证：△MFG为等腰三角形．

（2）若AB∥MD，求证：FG^2=EG?MF．

（3）在（2）的条件下，若DF=6，tan∠M=3/4，求AG的长．

知识回顾

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．

推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。

分析：（1）连接OF，利用切线和直角三角形，再结合等角的余角相等，可以得到∠MFG=∠MGF，即可解决问题．

（2）连接EF，运用条件容易证明△EGF∽△FGM，得出线段比例式，即可得出结论，

（3）连接OB，证明∠M=∠FOD，推出tan∠M=tan∠FOD=DF/OF=3/4，由DF=6，推出OF=8，再由tan∠M=tan∠ABH=AH/BH=3/4，假设AH=3k，BH=4k，则AB=BG=5k，GH=k，AG=√10 k，在Rt△OHB中，根据OH^2+BH^2=OB^2，构建方程即可解决问题．

请大家注意，想要正确解答一道数学题，必须先将大体思路弄清楚。下面，我们就按照以上思路来解答此题吧！

解答：（以下过程可以部分调整，并且还有其他解题方法）

（1）证明：连接OF．

∵DM是⊙O的切线，

∴DM⊥OF，

∴∠MFG+∠OFA=90°，

∵BM⊥AD，

∴∠AHG=90°，

∴∠OAF+∠AGH=90°，

∵OF=OA，

∴∠OFA=∠OAF，

∴∠MFG=∠AGH，

∵∠MGF=∠AGH，

∴∠MFG=∠MGF，

∴MF=MG，

∴△MFG是等腰三角形．

（2）证明：连接EF．

∵AB∥DM，

∴∠MFG=∠FAB，

∵∠FAB=∠FEG，

（同弧所对的圆周角相等）

∴∠FEG=∠MFG，

∵∠EGF=∠FGM，

∴△EGF∽△FGM，

∴EG/FG=FG/GM，

∴FG^2=EG?GM，

∵MF=MG，

∴FG^2=EG?MF．

（3）解：连接OB．

∵∠M+∠D=90°，∠FOD+∠D=90°，

∴∠M=∠FOD，

∴tanM=tan∠FOD=DF/OF=3/4，

∵DF=6，

∴OF=8，

∵DM∥AB，

∴∠M=∠ABH，

∴tanM=tan∠ABH=3/4=AH/BH，

设AH=3k，BH=4k，

则AB=BG=5k，GH=k，AG=√10 k，

在Rt△OHB中，

∵OH^2+BH^2=OB^2，

∴（8-3k）^2+（4k）^2=8^2，

解得k=48/25，

∴AG=48√10 /25.

（完毕）

这道题属于圆的综合题，考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活利用参数构建方程解决问题。温馨提示：朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法，欢迎大家留言讨论。