例题:(初中数学综合题)如图,已知F为⊙O上的一点,过点F作⊙O的切线与直径AC的延长线交于点D,过圆上的另一点B作AO的垂线,交DF的延长线于点M,交⊙O于点E,垂足为H,连接AF,交BM于点G.
(1)求证:△MFG为等腰三角形.
(2)若AB∥MD,求证:FG^2=EG?MF.
(3)在(2)的条件下,若DF=6,tan∠M=3/4,求AG的长.
知识回顾
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.
推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
圆周角定理推论:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等。
分析:(1)连接OF,利用切线和直角三角形,再结合等角的余角相等,可以得到∠MFG=∠MGF,即可解决问题.
(2)连接EF,运用条件容易证明△EGF∽△FGM,得出线段比例式,即可得出结论,
(3)连接OB,证明∠M=∠FOD,推出tan∠M=tan∠FOD=DF/OF=3/4,由DF=6,推出OF=8,再由tan∠M=tan∠ABH=AH/BH=3/4,假设AH=3k,BH=4k,则AB=BG=5k,GH=k,AG=√10 k,在Rt△OHB中,根据OH^2+BH^2=OB^2,构建方程即可解决问题.
请大家注意,想要正确解答一道数学题,必须先将大体思路弄清楚。下面,我们就按照以上思路来解答此题吧!
解答:(以下过程可以部分调整,并且还有其他解题方法)
(1)证明:连接OF.
∵DM是⊙O的切线,
∴DM⊥OF,
∴∠MFG+∠OFA=90°,
∵BM⊥AD,
∴∠AHG=90°,
∴∠OAF+∠AGH=90°,
∵OF=OA,
∴∠OFA=∠OAF,
∴∠MFG=∠AGH,
∵∠MGF=∠AGH,
∴∠MFG=∠MGF,
∴MF=MG,
∴△MFG是等腰三角形.
(2)证明:连接EF.
∵AB∥DM,
∴∠MFG=∠FAB,
∵∠FAB=∠FEG,
(同弧所对的圆周角相等)
∴∠FEG=∠MFG,
∵∠EGF=∠FGM,
∴△EGF∽△FGM,
∴EG/FG=FG/GM,
∴FG^2=EG?GM,
∵MF=MG,
∴FG^2=EG?MF.
(3)解:连接OB.
∵∠M+∠D=90°,∠FOD+∠D=90°,
∴∠M=∠FOD,
∴tanM=tan∠FOD=DF/OF=3/4,
∵DF=6,
∴OF=8,
∵DM∥AB,
∴∠M=∠ABH,
∴tanM=tan∠ABH=3/4=AH/BH,
设AH=3k,BH=4k,
则AB=BG=5k,GH=k,AG=√10 k,
在Rt△OHB中,
∵OH^2+BH^2=OB^2,
∴(8-3k)^2+(4k)^2=8^2,
解得k=48/25,
∴AG=48√10 /25.
(完毕)
这道题属于圆的综合题,考查了切线的性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是灵活利用参数构建方程解决问题。温馨提示:朋友们如果有不明白之处或者有更好的解题方法,欢迎大家留言讨论。
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