一道多项式的运算，巧用余数定理

一道关于多项式的计算题

做一道有关多项式的问题。

问题：一个首项系数为1的四次多项式f(x)， 满足f(1)=10, f(2)=20和f(3)=30. 求f(12)+f(−8).

解：因为f(x)为一个四次多项式，令f(x)=0, 则有：

f(1)=10,

f(2)=20

f(3)=30.

即有：

f(1)-10x1=0 (x-1)

f(2)-10x2=0 (x=2)

f(2)-10x3=0 (x=3)

这说明多项式f(x)-10x作为另一个4次多项式，它是能够整除因子(x-1)(x-2)(x-3), 由于最高次项系数为1，所以可以写成：

f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c), 其中c是个待定的值，是个中间过渡值。

将x=12, x=-8带入f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c)中有：

f(12)-120=11x10x9(12-c) (1)

f(-8)+80=(-9)x(-10)x(-11)(-8-c) (2)

.将（1）和（2）式左右相加后则可以消掉c, 从而有：

f(12)+f(−8)=11⋅10⋅9⋅(12−c)+120+(−9)(−10)(−11)(−8−c)−80=19840.

这道题如果用待定系数法去求，好像是求不出的， 因为那样的话对于像下面这样的函数：

F（x）=x4+ax3+bx2+cx+d, 共有四个待确定的数a、b、c和d, 而只能列出三个方程，虽然能够用d来表达a、b、c和d, 但带入F（x）显然是存在大量的计算，这是不现实的。所以示例的解法还是比较巧妙。其方法是构造了一个函数，比如g(x)=f(x)-10x, 让x=1, 2., 3是其根， 那么就会有f(x)-10x=(x-1)(x-2)(x-3)(x-c)， 读者要想了解为什么是这样，可点击本人写的另一篇文章代数的余数定理。