关于最大值和最小值的问题（一）

我们常常会遇到各种各样的有关求最大值和最小值的问题。那么我们面对形形色色的求最值问题，应该怎么办好呢？下面我们就从最常见的函数的最值问题来了解一下，解决最值问题的技巧性和灵活性的一些手法。

函数的最大值与最小值

1、已知x,y,z为非负实数，且满足

x+y+z=30, 3x+y-z=50,

求u=5x+4y+2z的最大值和最小值.

解：我们分析一下，求u的最值问题要先解决u的表示式。我们看见已知条件的表达式与u函数的表达式有联系，在已知条件中可以把y和z表示成只含有x的形式，这样就可以解决u函数的表示式。从而解决函数的最值问题。

由已知条件，x+y+z=30与3x+y-z=50可得，

y=40-2x, z=x-10.

因为y与z均为非负实数，所以

40-2x>或=0，x-10>0或=0.

于是可得： 10<或=x<或=20.

u=5x+4y+2z

=5x+4(40-2x)+2(x-10)

=-x+140.

因函数u=-x+140是一次函数，且是单调递减的，因此，当x=10时，u有最大值为130；而当x=20时，u有最小值120.

2、设f(x)=|x-p|+|x-15|+|x-p-15|,其中0<p<15.确定在区间p<或=x<或=15上f(x)的最小值。

解：我们分析一下，预求函数f(x)的最值，我们看到区间内的数值关系。只要把绝对值的数与区间内的数的关系联系起来，就能解决函数f(x)的最值问题。

因为0<p<15，以及p<或=x<或=15.可知0<p<或=x<或=15，所以

|x-p|=x-p ,|x-15|=15-x,

|x-p-15|=|x-(p+15)|=p+15-x.

于是f(x)=(x-p)+(x-15)+(x-p-15)

=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)

=30-x.

若要使f(x)最小，只须使x最大即可。所以当x=15时，f(x)就可得最小值15。

3、已知x1,x2是方程x^2-(k-2)x+(k^2+3k+5)=0(k是实数)的两个实数根，求x1^2+x2^2的最大值和最小值。

解：我们分析一下，因方程有两个实数根x1,x2，用根的判别式就可以求出根与系数的关系，从而解决最值问题。

由于题给的二次方程有实数根，所以

△=[-(k-2)]^2-4(k^2+3k+5)>或=0，

3k^2+16k+16<或=0

解得：-4<或=k<或=-4/3.

所以f(k)=x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2

=(k-2)^2-2(k^2+3k+5)

=-k^2-10k-6

=-(k+5)^2+19.

由于f(k)在[-4,-4/3]上是减函数，可见当k=-4时，f(k)=x1^2+x2^2有最大值18，当k=-4/3时，f(k)有最小值50/9.