2021 全国高中数学联赛（B卷）加试第二题详解

引言

问题

求最大的正整数

，使得存在

个整数

和

，满足

分析

先用不等式逼出一个大致的上限，然后尝试构造这个上限即可。本题比较常规，没有太多好分析的，下面给出本题的详细解答。

解答

设满足条件的最大的正整数为

，令

则由于

，可知

或

中有两个数相等，不妨设

，则

从而

进而

令一方面，令

此时

从而

进而

所以

点评

本题比较常规，用不等式逼出一个大致的上限，然后尝试构造这个上限，幸运的是本题刚好可以构造出这个上限，从而不需要进一步分析。答案并不难猜到，重点部分应该在于构造

时的例子，可能需要一些时间。本题比较简单，难度甚至小于第一题，幸运的话可以在 10 分钟内解决。