利用线段赋值，巧解初中几何证明题

这是一道相对简单的初中数学几何证明的竞赛试题，如图，已知P是正方形ABCD内一点，过P分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N。已知AP⊥MN，求证AP=MN或者AP垂直BD。

分析：从问题着手，要证明AP=MN，显然可以通过构造两个三角形全等来得证。

已知条件有AP⊥MN，自然就能想到连接MN，延长AP交MN于点E，同时延长MP，交AD与点F。如图所示。

观察图形即可发现，要证明AP=MN，只需证明△APF≌△MNP即可。

在直角三角形MNP中，利用PE（即AP）⊥MN的条件，易知∠MNP=∠MPE=∠APE，从而△APF∽△MNP。

现在如果能证明PN=PF，则根据角边角可证得△APF≌△MNP。

设正方形边长为1，PN=x，PF=y，由△APF∽△MNP可知：

x/1-y=y/1-x，解得x=y，即PN=PF，所以△APF≌△MNP，从而AP=MN。