abc为不等整数，证不存在整多项式，使得f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a

题目难度:★★ 适合:初二

关键字：多项式，整系数，因式定理

题：设a、b、c为三个不相等的整数，证明不存在整系数多项式f(x)，

使得f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a.

证明：假设存在整系数多项式f(x)，使得

f(a)=b，f(b)=c，f(c)=a 则有 f(a)-f(b)=b-c，

而（a-b）是 f(a)-f(b) 的因式，故 (b-c) 能被（a-b）整除。

故有正整数m，使得 |b-c|=m|a-b|

同理，存在正整数n、p，使得 |c-a|=n|b-c| |a-b|=p|c-a|

则有 |b-c||c-a||a-b|=m|a-b| n|b-c| p|c-a|

而a、b、c为三个不相等的整数，故有mnp=1，有m=n=p=1,

即有 |a-b|=|b-c|=|c-a|，但是 (a-b)+(b-c)+(c-a)=0

故必有a-b=b-c=c-a=0，即a=b=c，与题设矛盾。用反证法命题得证。