题目难度:★★ 适合:初二
关键字:多项式,整系数,因式定理
题:设a、b、c为三个不相等的整数,证明不存在整系数多项式f(x),
使得f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a.
证明:假设存在整系数多项式f(x),使得
f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a 则有 f(a)-f(b)=b-c,
而(a-b)是 f(a)-f(b) 的因式,故 (b-c) 能被(a-b)整除。
故有正整数m,使得 |b-c|=m|a-b|
同理,存在正整数n、p,使得 |c-a|=n|b-c| |a-b|=p|c-a|
则有 |b-c||c-a||a-b|=m|a-b| n|b-c| p|c-a|
而a、b、c为三个不相等的整数,故有mnp=1,有m=n=p=1,
即有 |a-b|=|b-c|=|c-a|,但是 (a-b)+(b-c)+(c-a)=0
故必有a-b=b-c=c-a=0,即a=b=c,与题设矛盾。用反证法命题得证。
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