原创 顾险峰 老顾谈几何 和汪浩然探讨Arnold所创立的拓扑Galois理论,汪浩然比较认同Arnold的观点,Arnold认为应该用初等古典的观点讲解现代数学,而非用故弄玄虚的现代抽象观点讲解初等数学。这里,我们用Arnold的拓扑方法来解释抽象的Galois理论。
可解群
求解多项式方程是代数学的基本问题之一。Abel证明五次方程无“代数”解(即解无法由方程的系数通过算术运算与求根运算表达),Galois完整地解决了多项式的根求解问题:他给出了多项式根式可解的充分必要条件。与多项式可解性密切相关的群是对称群。
所谓群是一个集合和一个乘法算子, 满足条件
例如考察数列的所有排列,以排列的复合为乘法,构成所谓的对称群。对称群由所谓的对换生成,所有由偶数个对换生成的排列构成所谓的交错群。
我们注意到,群的条件中不包含可交换性,即可能。如果乘法可交换,那么群被称为是Abel群,否则是非Abel群。衡量一个群到Abel群的距离,要用到换位子群的概念。设为群,称由集合
生成的子群为的换位子群(Communtator Group),记作. 如果是Abel群,则换位子群为. 我们递归构造如下:
如果存在一个整数,使得,那么我们说群是一个可解群。(这里可解群的定义和传统定义不同,但是彼此等价)。例如,令,直接计算中元素的个数,
群GG'G''G'''S221S3631S4241241S5120606060这意味着,是可解群,但不是可解群,其交错群的换位子群等于自身,,因此不是可解群。根式解存在性给定一个多项式我们将复平面并上一个无穷远点,通过球极投影映到单位球面上. 再将: 看成是从球面到自身全纯映射,. 当时, ,我们在平面上围绕无穷远点画一个小圆,由最高项,是平面上围绕点的转了圈的圆。这意味着是将源球面包裹了目标球面,一共包裹层。因此对于目标球面上的任意一点,在源球面上存在个原像,因此即次代数方程有个复数根。这时,存在因式分解,由此,我们得到韦达定理
即多项式的系数是其根的基本对称多项式决定。我们重新排列这些根,, ,由韦达定理不变,即多项式方程不变。Galois理论基本上是说如果次代数方程有代数根式解,那么是可解群。对于和,是可解群,因此存在求根公式;对于,不是可解群,因此不存在求根公式。传统抽象代数的证明需要较多基础知识,包括域扩张理论,下面Arnold的拓扑证明非常初等且简洁。
根的排列
我们考察多项式
记所有系数构成的复向量为,。令所有的根依随时间变动,其轨迹为,. 这时左侧多项式也依随时间而变化,
图1. 设计根路径。
如图1所示,对于任意的排列,我们可以设计路径,,满足
由韦达定理,我们有,这意味着系数向量构成一个圈,记成.
引理1. 假如代数方程存在求根公式, ,系数沿着跑了一圈,那么自然地我们有下面的等式这里是的简写,即求根公式的起止点函数值所得到的排列,等于方程的根的排列。
例如,我们考察一元二次方程
令,,则, 。令为对换,
构造为上半圆弧,从到达;令为下半圆弧,从到达,
由此我们得到系数环路,
我们知道,一元二次方程的求根公式:
这里
当从变到时,从变到;从变到. 这意味着求根公式的起始和终止值得到了根的排列,等于初始设计时用到的,
一般的求根公式由有理函数和开根号运算复合而成,例如:这里是的有理函数。核心想法:我们希望验证任何形式的都不是的求根公式,如果我们能够找到一条系数空间中的环路,使得引理1中的等式不成立即可。我们下面构造如此的环路,使得,但是右侧根的排列不是恒同变换,如此产生了矛盾。这可以用换位子的技术实现。
Monodromy
上面的讨论中,有一点非常令人迷惑:我们令系数跑了一个环路回到起点,,但是求根公式确不等于. 这涉及到monodromy的概念。我们用拓扑的观点来解释。
图2. 道路的提升和Monodromy.
前面我们谈到,多项式 可以视为从-球面到-球面的保角变换,把源球面包裹在目标球面上,包裹了层。如图2所示,映射的导数为
的零点为映射的分支点,其他的正常点处,映射局部可逆。整体上映射是-重分支覆盖,我们将-球面看成-球面的覆盖空间。的原像即为的根,假设它们都是正常点. 我们在-球面上画一条环路,。我们选取的一个邻域,在此邻域内恒不为,因此映射可逆。我们将曲线通过逆映射映回到-球面,得到一段曲线,记为, 我们说是在中的提升。然后,我们再在-球面上选取邻域,非空,同时在上可逆,那么可以将提升到中。如此重复,一直到把提升到覆盖空间(-球面)中的一条道路。由,, ,我们得到。同理,我们从开始提升到覆盖空间中,得到,那么这些提升道路的起止点给出了的一个排列:
那么我们将成为是的monodromy.
在我们的情形,环路的变量是系数而非,但是思想类似。
换位子技巧
现在我们来考察核心技巧,换位子。给定两个排列,对应的系数环路为和. 排列的换位子和环路的换位子分别为
这里是一个排列,依然是系数空间中一条环路,先沿着走一圈回到原点,再沿着走一圈,然后逆向沿着走一圈,最后逆向沿着走一圈回到原点。
我们先证明一个简单的命题:
命题1:三次方程代数求根公式不可能具有形式:
下面的观察是关键的:
引理2:给定次多项式,对于任意,任意的,,是如上构造的环路,沿着环路变动,那么
这里是有理函数。
引理2的证明:这个证明是初等的,,因此它们的幅角相差的整数倍。由定义
幅角变化量相抵相消,总幅角变化量为引理得证.
命题1的证明:由上面的表格,我们有有个元素,因此存在排列,使得。同上构造系数空间的环路,,考察命题1中的求根公式的起止值,由引理2它们相等,,但是引理1中的右侧,三个根的排列为,因此引理1中的等式不成立,矛盾。由此命题1正确。
我们再来证明类似的命题:
命题2:四次方程求根公式不可能具有形式:
证明:由上面的表格,我们有有个元素,因此存在排列,使得
同上构造系数空间的环路,,,. 用一次引理2,我们有:当沿着跑一圈,或者沿着跑一圈, 都得到
再用一次引理2,当沿着跑一圈, 我们有
但是引理1中的右侧,四个根的排列为,因此引理1中的等式不成立,矛盾。由此命题2正确。
我们现在可以证明经典Abel-Galois定理:
定理:五次代数方程没有代数求根公式(只包含算数运算和根式运算)。
证明:反证法,假设存在求根公式,一共嵌套了重根号. 因为有个元素,肯定存在一个排列,。
图3. 多重换位子
如图3所示,存在个排列,,在重换位运算下等于. 如上构造系数空间的环路和,同样运用重换位运算,得到。次运用引理2,我们得到结论:如果沿着跑一圈,那么求根公式,
但是引理1中等式的右侧根的排列为,引理1中的等式不成立,矛盾。因此假设错误,不存在求根公式带有重的嵌套根号。由的任意性,我们知道五次方程不存在只包含算数运算和根号运算的求根公式。
高次方程求根公式存在性证明与此类似,不可解,对于任意的,,我们可以找到, ,从而构造. 对于任意具有重嵌套根号和算数运算的表达式,令沿着跑一圈,,但是根的排列为, 矛盾。
小结
这里我们用拓扑方法证明了次多项式代数方程求根公式存在性的Abel-Galois定理,其核心思想是拓扑中覆盖空间的monodromy的想法:如果阶对称群不可解,对于任意包含重嵌套根号和代数运算的公式,我们能够找到特殊系数环路,使得系数沿着跑一圈,方程的根重新排列,但是的起始值不变,因此不是求根公式。这种方法比抽象代数方法更加直观简洁,实质上,这种想法比Galois的结论更强,这种方法可以推广到更加复杂的表达式,可以包含算数运算、根号运算、微分、积分运算,甚至更加复杂的运算。同时,对于算法设计而言,这种方法直接指向了强大的同伦算法,在计算代数领域举足轻重。我们从中也体会出拓扑和代数,相互纠缠,和谐统一!傍晚时分,暴雪停歇,邻居们拉着雪橇上街遛娃,远方彩霞满天...—— 虎年将近,谨以此文纪念Abel和Galois.
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