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【几何4-5】设n为正整数，如果可以将空间的点染n种颜色（每种颜色至少染一个点），使对空间任何一个平面，它至多包含n-1个两两异色的点，求n的所有可能取值。（冯跃峰编题）
【题感】空间点集问题，需要空间想象能力，给解题造成困难。我们可以先研究拟问题：平面点集的相应染色，然后拓广到空间。
对于平面的情形，将平面上点n-染色，使任一直线至多包含n-1种颜色，则n=1、2不合要求。
比如，n=1，要求任何直线上没有点，显然不可能；
对n=2，要求任何直线上的点全同色，这取两个异色点作直线即可得到反例。
由此发现所求n为大于2的整数，得到“拟问题”。
【拟对象】对任何整数n≥3，可以将平面上的点染n种颜色，使对该平面内的任何一条直线，它至多包含n-1个两两异色的点。
对于此问题，仍然比较抽象，可进一步研究特例，考虑n=3，4，5等等。
【研究特例】当n=3时，问题是简单的。可采用极端构造：取一种颜色的点尽可能少。
【极端构造】将平面上的一个点O染第1色（图1），其余点染第2或第3色，期待染色合乎要求。
考察任意一条直线l，如果l不过点O，则l上的点全为第2、3色，合乎要求；
如果l过点O，则l上除点O外，需要其余点全同色。
如何染色才能合乎上述要求呢？多取几条直线试试，采用局部扩展策略完成染色。
【局部扩展】过点O作两条直线l_1、l_2（图2），将l_1上除O外的其它都都染第2色，l_2上除O外的其它都都染第3色，则两条直线l_1、l_2上的染色合乎要求。
此外，直线l_1、l_2将平面划分为4个区域，其中两个区域为一组对顶角，另两个区域也为一组对顶角。
【极端构造】任何一条过点O的直线必定在其中某个对顶角中，将两组对顶角区域染都染第3色，则染色合乎要求。
上述染色方法适用一般情形。
【平凡拓广】在平面上任取一点O，将其染第n色。
过O作n-1条直线l1，l2，…，ln-1，将直线li染第i色（1≤i≤n-1），平面上其余点都染第1色，则这种染色合乎要求（图3）。
对任一条直线l，若l不过点O，则l上无第n色的点，从而l多包含n-1个两两异色的点，合乎要求。
若l过点O，当l与某条直线li（1≤i≤n-1）重合时，l上只有第i色和第n色，合乎要求；当l不与任何直线li（1≤i≤n-1）重合时，l必定包含于某个角形域中（图4），从而l上只有第1色、第n色这两种颜色的点，所以l至多包含2≤n-1个两两异色的点，引理获证。
将引理的结论，推广到三维空间，几乎是水到渠成的。
注意，推广中，既要利用引理的结论，也要用到引理的思想（极端染色）。
【解答原题】显然n≤3不合要求。否则，在每种颜色中各取一个点，这n个点在同一平面内，矛盾。
当n≥4时，我们构造一种合乎要求的染色即可。
此时，可先利用引理的结论：对空间的某个平面上的点染色，使平面中的每条直线合乎引理要求。
【利用引理的结论】任意取定一个平面α，注意到n-1≥3，由引理，可以将平面α上的点染n-1种颜色，使对该平面内的任何一条直线，它至多包含n-2个两两异色的点。
下面利用引理的思想：采用极端染色，让一种颜色的点尽可能多。
【利用引理的思想】将平面α外的所有点都染第n色，下面证明这种染色合乎要求。
【验证】考察任意与α不重合的平面β，它与α的关系有两种可能。
若β与α平行，则平面β只含第n色的点，从而平面β至多包含1<n-1个两两异色的点，合乎要求；
若β与α相交，设α∩β=l。因为l在平面α内，所以l至多包含n-2个两两异色的点，又平面α外的点都是第n色，从而β上除l外的点都是第n色，连同l上至多n-2个两两异色的点，平面β至多包含n-1个两两异色的点，合乎要求。
综上所述，n的所有可能取值为一切大于3的正整数。
【新写】引理：对任何整数n≥3，可以将平面上的点染n种颜色，使对该平面内的任何一条直线，它至多包含n-1个两两异色的点。
证明：在平面上任取一点O，将其染第n色。过O作n-1条直线l1，l2，…，ln-1，将直线li染第i色（1≤i≤n-1），平面上其余点都染第1色，则染色合乎要求。
对任一条直线l，若l不过点O，则l上无第n色的点，从而l多包含n-1个两两异色的点，合乎要求；若l过点O，则l必定包含于某个角形域中，从而l上只有第1色、第n色这两种颜色的点，所以l至多包含2≤n-1个两两异色的点，引理获证。
解答原题：当n≤3时，在每种颜色中各取一个点，这n个点在同一平面内，矛盾，所以n≥4。
当n≥4时，取定一个平面α，注意到n-1≥3，由引理，可以将平面α上的点染n-1种颜色，使对该平面内的任何一条直线，它至多包含n-2个两两异色的点。再将平面α外的所有点都染第n色，下面证明这种染色合乎要求。
考察任一不与α重合的平面β，若β与α平行，则平面β只含第n色的点，从而平面β至多包含1<n-1个两两异色的点，合乎要求；
若β与α相交，设α∩β=l。因为l在平面α内，所以l至多包含n-2个两两异色的点，又平面α外的点都是第n色，从而β上除l外的点都是第n色，连同l上至多n-2个两两异色的点，平面β至多包含n-1个两两异色的点，合乎要求。
综上所述，n的所有可能取值为一切大于3的正整数。
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