冯跃峰
本节主要讨论发掘问题中的内部差异。
所谓内部差异，是指这样两种差异：
（1）同一个式子的某个局部与另一个局部之间的差异；
（2）条件与条件（包括相关知识）之间存在的差异。
消除内部差异，可以减少研究对象或研究对象的不同表现形式，协调各元素间的相互关系，为综合利用各个条件及相关知识创造机会。
我们先看两个简单的例子。
例1、计算：
+
。
【分析与解答】本题属于纯计算题，只能采用如下解题主线：
+
——→常数。
比较起点与终点的状态差异，发现解题的本质要求是消除当前状态中的对数式，进而得到一个具体的数值。
如何消去“对数式”？这就要发掘当前状态的内部差异：
在的指数中，其对数的底是4，而指数式的底是2，于是要消除它们的差异：将4化为2，以便利用相关知识：
=N。
如何将两个“底”化成相同？——将4“开平方”即可，由此寻找条件，联想到相关知识：
=，便有
=。
对另一个对数式也同样消除内部差异，解题水到渠成。
具体解答如下：
【新写】 +
=+
=+
=+
=（）+（）=4。
例2、设x<0，求
f（x）=
的最小值（天津市质检题）。
【分析与解答】本题的目标为：
≥常数。
题中给出了唯一的条件x<0，但这个条件起什么作用，暂时不知道，先跳过。分割目标建立如下解题主线：
——→ 常数。
就外部差异而言，关键是通过放缩变形消去x，这当然会用到x<0，但仍不知究竟如何使用这一条件。
因此，本题的关键是从发掘当前状态的内部差异开始。
考察当前状态中的式子
与，
它们的结构有点相似，但存在差异，消除其差异，就可变成统一的表现形式，进而采用换元法。
如何消除差异？自然是将
转化为（x+）²，这采用配方法即可：
=（x+）²-2。
以下过程则畅通无阻：通过变量替换转化为熟知的二次函数之后，只需确定自变量的变化范围，这恰好可利用题给条件x<0。具体解答如下：
【新写】记y=
=--2，
令=t，则y=t²-t-2。
因为|t|==|x|+≥2，
但t<0，所以t≤-2。
而y=t²-t-2关于t在（-∞，]上为减函数，所以当t=-2时，y取最小值4。
即 f（x）=的最小值为4。
下面两个问题的解答方式与之类似，留给读者练习。
例3、设，
求p与q之间的关系。
【分析与解】条件中的前两个等式在结构上有点类似，消除其差异，即可综合利用这两个条件（将其中一个代入另一个）。
因为，
所以，
即。
又
代入上式，得
故。
例4、设分别是方程
的根，
求。
【分析与解】本题可建立如下解题主线：
—→ =常数。
它有一个巧妙的几何解法（见《学习与评价》P73-例2）），但也有很好的纯代数解法（比原方法更简单）。
解题的关键是消除内部差异：两个条件等式在结构上的差异，从而看综合利用条件。
两个条件之间的差异很明显：第一个条件中含有对数式，而第二个条件中含有指数式，我们立足于将第二个条件转化到与第一个条件的结构相同。
将变成
，
则可见，也是方程x+lgx=3的根！
又函数x+lgx在定义域（0，+∞）内是增函数，所以只存在一个x值使x+lgx=3（即方程只有唯一实根），
于是，
代入第二个等式，得
。
下面看一个难点稍大一点的例子。
例5、设asin²α+bcos²α=c，
，
求证：。
【分析与证明】以题给的两个条件等式为起点，结论中的恒等式为终点，可建立如下解题主线：
asin²α+bcos²α=c①，
②，（起点）
——→（终点）。
本题起点和终点的结构都较复杂，一些解题者被题目的“大容量”、“多参数”的表现形式所迷惑，找不到解题的突破口。实际上，只要立足于寻找题中的各种差异，并考虑如何消除差异，则解题途径就清晰可辨。
先发掘外部差异：比较初始状态与目标状态，发现两者的差异是目标状态中不含α，从而解题的关键是消去α，这可由条件①②来完成；
再发掘内部差异：如果视sin²α、cos²α为两个变元，则条件①②都是关于这两个变元的二元方程。但按通常的消元方法，虽然也能完成解题，但计算过程冗长。此时，发现条件中的内部差异则可起到事半功倍的效果。
考察初始状态中的两个条件等式①②，发现每个等式都存在内部差异：所含的三角函数不同。为了便于消元，可利用“同角关系”实现函数的转化，减少函数类。
由此想到相应的知识：sin²α+cos²α=1，①②消去cosα后分别变为
asin²α+b（1-sin²α）=c④，
⑤。
至此，由④解得
sin²α=，
将之代入⑤，整理后即得要证的等式。
具体解答如下：
【新写】因为asin²α+bcos²α=c，
，
又sin²α+cos²α=1，所以，
asin²α+b（1-sin²α）=c①，
②。
由①解得sin²α=，
将之代入②，整理后即得
。
本例充分说明，发现内部差异在解题中起着至关重要的作用。
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