一道高中函数的运算题

假定对于所有实数，函数g(x)满足g(x)=2x-4, 而g的反函数为g-1, 若函数f对于素有实数x满足

求f(π)的值。

解法1：

由于g(x)是一次函数，一一对应，所以存在反函数，

令y=2x-4, 解得x=(y+4)/2, 将x和y互换有：

y=(x+4)/2, 这就是g(x)的反函数，

将其带入已给的式子中：

再返回到g(x)=2x-4

有：

所以有：

通过观察当x=2π-4, 能使左边出现f(π), 因此将x=2π-4带入右侧有：

注：也可以令（x+2）/2=t, 带入上面的函数式子中，求得f(x)的表达函数，再求f(π)

解法2：由于g(x)是线性的，且斜率是正的，且是一一对应的，所以是可逆的，

由于：

所以有：

解得：

根据已知：

按照反函数定义：

将前面推出的g的反函数带入：

化简后：

利用已经推出的g的反函数表达式：

整理：

由于我们要求f(π), 所以将x用2π-4带入，就有：

解法3： 由于g(x)是线性的，且斜率是正的，且是一一对应的，所以有反函数，按照反函数的定义，对于每个实数a有：

对于每个实数b有：

因此对于每个实数a有：

这意味着：

另外如果

则：

因此：

由于：

所以：

因此：

所以有：

最后得出：