题目：已知正方形 ABCD ， P 是CD 上的一点，以 AB 为直径的圆⊙O 交 PA 、 PB 于 E 、 F ，射线 DE 、CF 交于点 M .
求证：点 M 在⊙O 上.
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解法一：
如果M点在圆上，就有很多和圆有关的特征可以使用，所以尝试先假设一个DE和圆的交点M’，结论转化为求证M’点和M点重合。
连接M’C交圆与F’点。如果能证明F和F’重合，则说明M和M’重合。
这又意味着求证劣弧EF=劣弧EF’，最终转化为求证∠EM’F’=∠EBF
接下来从已知条件顺推，易知B,C,P,E四点共圆，∠EBF=∠ECD
而因为M在圆上，DE·DM=DA²=CD²，得到ΔDM’C~ΔDCE,∠EM’F=∠ECD
所以∠EM’F’=∠EBF，已知条件和结论会师。
解法二：换一种思路，结论相当于要证M,A,B,E,F多点共圆。尝试证这些现有的点，困难重重，考虑引入圆上新的点，目标是新的点和右边的正方形有更紧密的联系。
最显著的点是正方形的中心G点，根据正方形的对称性，G必然在圆O上。
考虑M，G和A,B,E,F中某两点共圆后的等价推论。尝试M,E,G,F，则有∠M+∠EGF=180和∠MEG+∠MFG=180.
观察这些角是否能向外转化。因为∠DPG+∠CPG=180，如果能转化到这俩角上，结论就成立，这相当于求证E,G,P,D和F,G,P,C分别四点共圆。
这个条件通过G点的特殊性得以实现。因为不管P点如何运动，G点的位置不变，并且∠PDG=∠CPG=45恒定。由于A,B的位置也是固定的，这导致∠PEG和∠PFG恒等于BD、AC和AB的夹角45度。这说明,不论P点在哪个位置，∠PEG=∠GDP=45,∠PFG=∠GCP=45,两个四点共圆的判定条件满足，已知条件和结论会师。
总结：本题思路不难，难在于需要对图形的性质判定有熟练的掌握，不论是三点共线的判定，还是以正方形中心为基点的4个四点共圆的判定，都要对图形的特征有足够敏感，才能一步一步地沿着结论的方向尝试到正确的道路。
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