练眼力找全等三角形，你有把握吗 - 初中联赛几何100题之16

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题目：已知：ABCD 与 A1B1C1D1均为正方形，A2 、B2 、C2 、D2分别为 AA1、BB1、CC1、DD1 的中点.

求证： A2B2C2D2 为正方形.

如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。

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题目分析：

从结论看，要证明正方形，可以拆解为求证邻边相等且互相垂直。

由于正方形的对称性，只要证明出一组邻边相等且垂直，其他邻边可同理证出。

要证明同端点的两边线段相等且垂直，考虑尝试构造三角形旋转而成的全等三角形。

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解法：

观察条件，这么多中点，第一反应是应用中位线定理。

于是取BA1,BC1的中点E,F,构造出三角形A2EB2和B2FC2,由中位线定理

易知A2E=AB/2=BC/2=C2F,AB2=A1B1/2=B1C1/2=FB2

再由A2E//AB,B2E//A1B1,C2F//BC,B2F//B1C1,

而A1B1

B1C1,AB

BC两个角的两边相互垂直，可知这两个角相等

所以

从而三角形A2EB2和B2FC2全等

A2B2=B2C2,

注意到

,顺利得到

条件和结论会师。证毕

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总结和推广：涉及多个线段中点的求证，应该尝试中位线。要证明同端点的两边线段相等且垂直，考虑尝试构造三角形旋转而成的全等三角形。

另外，如果把A1B1C1D1放进大正方形ABCD内部，用同样的证明思路也可以得到相同的结论，这其实是多年前的一道竞赛题。

把正方形换成正三角形，结论也同样成立。有兴趣的可以查阅“爱可尔斯定理”，获得更多信息，扩展一些视野。