初中代数求不定方程的整数解一例

初中代数里面有一类题，是求解不定方程，今天就带来一例。

题目：找出所有的整数x和y，使得

分析：通常此类题目看起来容易没有头绪，特别是方程中出现指数，很容易吓到人。其实题目既然是求整数解，那么我们有几类方法：奇偶性分析、整除（因数）分析、取值范围分析、换元法等等。以下我们来分析如何解这个题目，如果你想思考一下，可以先暂停滚屏，思考一分钟看看能否有思路。

以下是我们的参考方法。

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解：

由于方程左边大于等于0，则可知右边也大于等于0，得到

，则

。

若方程左右两边取0，很明显得到一组解，x=0，y=0。

以下讨论y>0的情况，我们使用换元法。设

，方程变为

。可以视为关于a的一元二次方程，而且a有整数解，那么我们判断此方程的

。

，我们注意到21=3

7，继续抽取因数3

所以

，到此我们发现

有一个因数3，如果要a有整数解，必须

也要含有一个因数3。

这里进入到关键点，关于因数的判断，我们继续。

我们看这一段

，是含有3的y-1次幂，当y>1时，

含有因数3。当y=1时，

不含因数3。

睁大眼睛哦，不要乱，进入最重要的一句：当y>1，

含有因数3时，我们要求的

肯定不含因数3。所以，此时

不可能是完全平方数，即y>1时无整数解。

y=0和y>1都讨论完了，剩下y=1的情况，此时a的方程变为：

，(a+5)(a-4)=0，因此，a=4，舍去a=-5的一组解，得到x=

，

综上原方程有3组解：

x=0、y=0

x=2、y=1

x=-2、y=1