题目：把分子为1的真分数称为单位分数。问3/169能否表示为2个单位分数的和？
今天的题目是单位分数问题，来自法国的一次数学竞赛。
如果你想思考一下，可以暂停滚屏，思考1分钟后，再继续。
思路分析：
这道题属于分数问题，3/169是个很不规则的数，逐个验证计算量太大不可取。
为此假设3/169=1/a+1/b，然后试着看能否推出矛盾。
考虑a和b的最大公约数p，假设a=pc,b=pd。
首先写出p,c,d之间的关系式；接着考虑cd和c+d的最大公约数；
最后判断满足条件的a,b是否存在。
步骤1：
先考虑第一个问题，写出p,c,d之间的关系式。
由于3/169=1/a+1/b，将a=pc,b=pd代入其中，有3/169=1/a+1/b=(a+b)/(ab)=(c+d)/(pcd),化简即3pcd=169(c+d)，这就是p,c,d之间要满足的关系式。
步骤2：
再考虑第二个问题，cd和c+d的最大公约数是多少？
根据c和d的定义可得，c与d的最大公约数是1。
如果某个素数n是cd和c+d的公约数，由于n是cd的约数，故n一定是c或d的约数，
对此进行讨论：
如果n是c的约数，由于n也是c+d的约数，故n也是d的约数，则n是c和d的公约数，这与c与d的最大公约数是1矛盾，则n不是c的约数；
类似可以得到n也不是d的约数。故所有素数都不是cd和c+d的公约数，因此cd和c+d的最大公约数是1。
步骤3：
综合上述几个问题，考虑原题目的答案。
在步骤1中得到3pcd=169(c+d)，注意到169不是3的整数倍，
结合步骤2的结论可得：169是cd的整数倍，且c+d是3的整数倍。
由于169=13*13，故cd只可能是1，13或169，对这3种可能分别进行讨论：
情况1，当cd=1时，
有c=d=1,则c+d=2不是3的整数倍；
情况2，当cd=13时，
有c+d=14也不是3的整数倍；
情况3，当cd=169时，
有c+d=170或26都不是3的整数倍。
因此满足条件的cd不存在，
这说明满足条件的a,b也不存在，
所以3/169不能写成2个单位分数的和。
你学会了吗？
有兴趣的读者可以考虑自行练习下面的扩展题
思考题：小明说：如果a,b都是大于0的奇数，且a-b=16，则a和b的最大公约数一定是1。
请问小明说的正确吗？
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