原题：六位音乐家在一个音乐节上相聚，在安排的每场音乐会上，有某些音乐家演奏，而另外几位音乐家就作为观众欣赏演出．要使每位音乐家都能够作为观众观看其他任何一位音乐家的表演，这样的音乐会至少要安排几场？为什么？
解：以数值0到5分别表示这六位音乐家。用有序对(x,y)表示音乐家x观看了音乐家y的表演，x,y=0,1,...,5。题设要求就特定一个音乐家而言，以观众身份需要6-1=5个互不相等的有序对。6位音乐家就需要5·6=30个互不相等的有序对。
一场音乐会上，这六位音乐家假设有m位当观众，则另6-m位以表演身份出场，这场演出可以提供m·(6-m)个有序对，当m=3时，m·(6-m)取得最大值9。由于9·3 < 30 < 9·4，可以推断至少需要4场音乐会才可能满足题设要求。
接下来尝试构造符合题设要求的4场音乐会的一个实例。用形式语义符号Ck:abc-def表示第k场音乐会a、b、c为观众，d、e、f为表演者。
于是不妨令：
C1:012-345
C2安排让0观看还没有观看到的1和2，于是就有 C2:0ab-12c。此时a、b、c的位置要填上3、4、5，由对称性，不妨令：
C2:034-125
此时，左数为0的不同有序对已经达到5个，即表示0已经看过其余5人的表演了。
同样地，会有 C3:1de-02f。此时5还不曾作过观众，优先令e=5，于是有：
C3:135-024
同样地，还有 C4:2gh-01i。上述前三场安排中，0、1、3都已经看过其余人的表演了，故有：
C4:245-013
验证4和5，均符合，构造完成。
综上可知，至少要安排4场音乐会。
附言：
此题和 10个学生参加若干小组问题求解与分析 里的那个题不太一样，但解题思路是大致相通的。
扩展分析：
如果把原题里的6位音乐家增加到8位，其它要求不变，情况会怎么样？
此时，要求不同的有序对的数量为7·8=56，而每场演出能提供的不同有序对的数量为4·4=16。由16·3 < 56 < 16·4，可以推断至少要安排4场演出。但在实际构造环节却构造不出满足要求的4场演出的实例来。
比如，令：
C1:0123-4567
C2:0456-1237
C3:1457-0236
C4:2467-0135
上面针对原题的构造实例里，6位音乐家都是在左侧正好出现两次（即做了两次观众），6位音乐家总计做了2·6=12次观众；另一方面，一场演出有3个左侧位置（即为音乐家提供3个观众身份），4场演出则有3·4=12个观众身份。
在扩展情形，同样有8·2=4·4的观众身份对应关系。似乎也可以有每人恰好做两次观众就能看到其余人演出的实例。但上面的构造没能做到，具体分析如下：
C1:0123-4567，第一场0、1、2、3为观众，他们看了4、5、6、7的演出，为使得0、1、2、3分别再当一次观众就可看到其余人的演出，这四人中不能再有两人同为观众的情形出现（反证法）。所以随后的C2、C3、C4里，分别安排0、1、2当观众，而3只能被安排为演出者。即3仅在第一场当观众，只看了4个人的演出。因此，这样的4场演出安排无法满足要求。
那么，不限定每人恰好做2次观众，让有些人做3次甚至4次观众呢？回到上述的观众身份对应关系，4场演出提供共计16个观众身份，8个人中只要其中有一个人占据了3次或更多次观众身份，就必有另一个人的观众身份少于2次，即至多当了一次观众，那他至多只能看到4个人的演出。
综上分析，可知安排4场4对4（4个观众对4个演出者）的演出，没有办法让8个音乐家中的每个人都看到其余人的演出。
上面的构造，再加一场演出，即C5:3567-0124，就可以满足要求了。
下面严格证明：
拓展题：为n(n>6)个音乐家安排m对n-m（m人为观众观看另外n-m人表演）的演出，各场演出之间可以独立选取m。求证：无论怎么安排，4场演出无法满足每个音乐家都能观看到其余音乐家的表演。
证明：以下常直接以“人”称谓“音乐家”。为进一步方便描述，定义一个说法：
为n(n>1)个人安排独立的k场演出，每场演出安排若干人当观众，其余人为表演者。若这k场演出满足每个人都能观看到其余n-1人表演，则称这k场演出满足[k,n]满观演，这样的k场演出也称为满足[k,n]满观演的一个实例。
于是，待证命题就等价于：
若n>6，则不存在满足[4,n]满观演的实例。
n=6的情形，前面已经有一定的分析，并给出了满足[4,6]满观演的一个实例。下面做进一步分析。
假设存在满足[4,6]满观演的这样一个实例，其中有个人在4场演出中只当了1次观众，不妨记为：
C1:0-12345
即第一场演出中，0作为观众观看了其余5人的表演。这一场演出只提供了5个观演有序对，为满足[4,6]满观演，剩余的三场演出不能再有1人观看其余5人的安排（否则5·2+9·2 < 30）。这说明后三场演出中，1、2、3、4、5均至少做了两次观众。另外，后三场演出中至少有一场是3对3的演出（否则5·1+8·3 < 30）。于是，不妨令：
C2:123-045
即第二场演出中，1、2、3为观众，0、4、5为表演者。
不妨令1在第三场演出中继续当观众，则2、3为表演者，即有：
C3:1ab-23c
此时，2和3都只当过一次观众，按上述分析，2和3都要在第四场演出中当观众。即：
C4:23d-efg
这样就会出现2没有观看到3的表演（3也没有观看到2的表演）的问题，这与开始的假设矛盾。这就推导出了如下结论：
满足[4,6]满观演的任意实例中，每个音乐家当观众的次数都大于1。 ①
由此可知，满足[4,6]满观演的一个实例中，6个人当观众的总数不小于12。
任意满足[k,n]满观演的一个实例，由前面的分析可知，会提供如下一个观演有序对集合：
S = {(i,j) | i ≠ j, i,j=0,1,...,n-1}
易知集合S的成员数为P(n,2)=n·(n-1)
对S中的任意一个观演有序对(i,j)，可以做反向理解，即j为i提供了表演，即有对应的演观有序对[j,i]。由上述S的表示式的对称性可知：
满足[k,n]满观演的一个实例，必然也满足[k,n]满演观，即这k场演出中每个人都为其余n-1人进行了表演。 ②
于是，就有与①对等的如下结论：
满足[4,6]满观演的任意实例中，每个音乐家当表演者的次数都大于1。 ③
以下的结论是显然的：
一场演出的音乐家总数等该场演出的观众数加上表演者数。 ④
6位音乐家的4场演出至多有6·4=24个音乐家身份。为满足[4,6]满观演：
由①知，4场演出的观众身份总数不小于2·6=12
由③知，4场演出的表演者身份总数不小于2·6=12
再结合④便知，为满足[4,6]满观演：
（1）每场演出中，6位音乐家都以观众或表演者的身份出场，无一人缺席；
（2）4场演出中，每人正好做了两次观众，也正好做了两次表演，6人合计观众身份、表演者身份各12次。
这说明满足[4,6]满观演的一个实例中，有可能存在2对4的演出和4对2的演出，且这两种演出成对出现。实际尝试构造一下。不妨令：
C1:01-2345
再令0和1的第二次观众身份在分别C2和C3中出现，即有：
C2:0...-1...
C3:1...-0...
C4中0和1均为表演者，即有：
C4:...-01...
C2往3对3细化，不失一般性，可令为：
C2:023-145
此时，4和5都已经以表演者身份出场两次了，4和5之间还没有观看到对方的表演，不能满足[4,6]满观演。
C2往2对4细化，不失一般性，可令为：
C2:02-1345
此时，也有同样的问题（4和5都已经以表演者身份出场两次了，4和5之间还没有观看到对方的表演），不能满足[4,6]满观演。
C2只剩下往4对2细化的可能，不失一般性，可令为：
C2:0234-15 （C1:01-2345）
此时，5作为表演者身份已出现了两次，还有两次观众身份分别出现在C3和C4。C3往3对3细化，不失一般性，可令为：
C3:125-034
此时，3和4都已经以表演者身份出场两次了，3和4之间还没有观看到对方的表演，不能满足[4,6]满观演。
C3往2对4细化，只能为：
C3:15-0234
此时，同样由3和4可知，不能满足[4,6]满观演。
C3只剩下往4对2细化的可能，不失一般性，可令为：
C3:1235-04
此时，2和3都已经以观众身份出现了两次，但2和3之间还没有观看到对方的表演，不能满足[4,6]满观演。
以上分析推导出以下结论：
满足[4,6]满观演的实例只能由4场3对3的演出构成。
接下来着手证明：
若n>6，则不存在满足[4,n]满观演的实例。
若n为奇数，则有n = 2m+1, m >= 3，一场演出最大提供m·(m+1)个观演有序对。而要满足[4,n]满观演，需要有(2m+1)·2m个观演有序对。
4·m·(m+1) - (2m+1)·2m = 2m
由此看，满足[4,2m+1]满观演的实例可能是存在的。
假设存在满足[4,2m+1]满观演的实例，且有人只当了一次观众，对应的那场演出，不妨具体化为C1:0-1,...,2m，仅能提供2m个观演有序对。而
2m + 3·m·(m+1) - 2m·(2m+1) = m·(3-m) <= 0
这个差式的值，只有m=3时为0；m>3时均为负数，无法满足[4,2m+1]满观演。
进一步考察m=3的情形，此时C2、C3、C4均是3对4或4对3的演出。考虑音乐家1，在后三场演出中，他不可能3次都当观众（否则2无法看到1的表演）；他也不可能只当一次观众（否则他至多只能观看到其他4人的表演）。因此1在后三场演出中恰好当了两次观众。由对称性可知，音乐家2、...、6在后三场演出中也都恰好当了两次观众。
不妨令音乐家1在C2和C3中当观众，在C4中做表演。他在C1中只给音乐家0做了表演，而C4里观众至多有4个（C4必需为4对3或3对4的演出），1+4 < 6，因而还是有人没有观看到他的表演。
再来看n是偶数的情形，即有n = 2m, m >= 4，一场演出最大提供m·m个观演有序对。而要满足[4,n]满观演，需要有2m·(2m-1)个观演有序对。
4·m·m - (2m-1)·2m = 2m
由此看，满足[4,2m]满观演的实例可能是存在的。
假设存在满足[4,2m]满观演的实例，且有人只当了一次观众，对应的那场演出，不妨具体化为C1:0-1,...,2m-1，仅能提供2m-1个观演有序对。而
2m-1 + 3·m·m - 2m·(2m-1) = m·(4-m) - 1< 0
由于m >= 4，这个差式的值总为负数，无法满足[4,2m]满观演。
综上分析，有如下结论：
若存在满足[4,n]满观演（n > 6）的实例，则这个实例中每个音乐家当观众的次数都大于1。 ⑤
同样由②，又有如下对等结论：
若存在满足[4,n]满观演（n > 6）的实例，则这个实例中每个音乐家当表演者的次数都大于1。 ⑥
n位音乐家（n > 6）的4场演出至多有4n个音乐家身份。为满足[4,n]满观演：
由⑤知，4场演出的观众身份总数不小于2n
由⑥知，4场演出的表演者身份总数不小于2n
再结合④便知，为满足[4,n]满观演（n > 6）：
（1）每场演出中，n位音乐家都以观众或表演者的身份出场，无一人缺席；
（2）4场演出中，每人正好做了两次观众，也正好做了两次表演，n人合计观众身份、表演者身份各2n次；
（3）4场演出中，至少有一场的观众数不少于4。
最后一个结论是显然的（不然2n<=3·4=12，推出n<=6）。于是不妨令：
C1:0123...-...
为使得0、1、2、3分别再当一次观众就可看到其余人的演出，这四人中不能再有两人同为观众的情形出现（反证法：不妨设0和1在C2中再次同为观众，则0和1彼此没有观看到对方的表演）。所以随后的C2、C3、C4里，分别安排0、1、2当观众，而3只能被安排为演出者。即3仅在第一场当观众，只看了4个人的演出。因此，这样的4场演出安排无法满足[4,n]满观演。证毕。
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