如图，四边形ABCD是矩形，
点E在BA的延长线上，
AE＝AD．
EC与BD相交于点G，
与AD相交于点F，AF＝AB．
（1）求证：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的长；
（3）如图2，连接AG，
求证：EG﹣DG=根号2倍的AG．
本题附图
解：（1）略。
（2）推荐3种解法：
解法一：
设AE＝AD＝BC＝m，
∵点E在矩形的边BA的延长线上，
∴AF∥BC，
∴AE:BE=AF:BC，
该比例式也可由△EFA∽△ECB得到。
第二吻的解法一的过程
解法二：设AE＝m，
∵四边形ABCD是矩形且
点E在BA的延长线上，
∴DC∥AE，
第二问的解法二的过程延续
解法一和解法二，均利用矩形性质、平行线截线段对应成比例或者由平行得相似，以及方程的简单求解。以下的解法三，则以三角函数正切为桥梁，直接得到比例式。
本文原创、详细，解法新颖。
本题第二问不算难，求解线段的长，没牵涉到圆，无非用到全等、勾股定理、相似、坐标法、面积法、三角函数等方法。
解法三：
∵四边形ABCD是矩形且
点E在BA的延长线上，
第二问的解法三
第三问：
连接AG，求证：
EG-DG=根号2倍的AG，
目前我推荐6种证明方法如下。
用到的知识点有：
全等、相似、平行四边形性质、
四点共圆等。
注意一个小模型：
等腰直角三角形中，
斜边是直角边的根号2倍。
还有一个很有用的小模型：
在含有30°的直角三角形中，
较长直角边是较短直角边的
根号3倍。这两个亲爱的小模型，
在解答选择填空时相当轻捷，
解大题也可直接使用，不用
通过麻烦的三角函数来转换。
努力学，将来您也定会站在这里！
证法一：截取线段相等。
如图，在EF上取一点H，
使得EH=DG。
∵BD⊥EC，
∴∠2+∠3=90°---①
∵DA⊥EB，
∴∠E+∠4=90°---②
第三问证法一附图
由①②知∠2=∠E。
在△EHA和△DGA中，
EH=DG
∠E=∠2
EA＝DA，
∴△EHA≌△DGA（SAS），
∴AH=AG且∠5=∠6。
∵∠5+∠7=90°，
∴∠6+∠7=90°，
∴△HAG是等腰直角三角形，
∴HG=根号2倍的AG。
而HG=EG-EH，EH=DG，
∴EG-DG=根号2倍的AG。
证法二：
过点A作AH⊥AG
交EF于点H，连接FB。
∵AF=AB，FA⊥AB，
∴∠5=45°。
∵BD⊥EC，DA⊥AB，
∴∠FGB=∠FAB=90°
∴点A和G均在以FB为直径的圆上，
∴圆周角∠4=∠5=45°，
第三问证法二附图
已作AH⊥AG，
∴△AHG等腰直角，
∴AH=AG且
HG=根号2倍的AG。
往下只需证明EH=DG。
即只需证明
△EHA≌△DGA。
∠1+∠2=∠3+∠2=90°，
故∠1=∠3，
AH=AG已证、
AE=AD已知，
故命题得证。
证法三：
连接BF、ED，
过点E作EH⊥GA交
GA的延长线于点H。
由于BD⊥EC，DA⊥AB，
故∠FGB=∠FAB=90°，
则点A和G均在以FB为直径的圆上，
故圆周角∠6=∠5=45°，
第三问证法三附图
而已作EH⊥GH，
∴△EHG等腰直角，
∴EG=根号2倍的GH
=根号2倍的EH
且∠3+∠4=45°。
而在等腰Rt△DEA中，
ED=根号2倍的EA且
∠3+∠2=45°，
∴∠4=∠2。
则Rt△EDG∽Rt△EAH，
∴DG:AH=EG:EH=根号2。
则DG=根号2倍的AH。
第三问证法三的延续
证法四：
过点A作AH⊥AG
交GB的延长线于点H。
∵AF=AB，FA⊥AB，
∴∠3=45°。
连接BF，
已知BD⊥EC，DA⊥AB，
则∠FGB=∠FAB=90°，
∴点F、A、B、G四点共圆，
第三问证法四附图
∴圆周角∠2=∠3=45°，
而EG⊥GB，
∴∠4=90°-∠2=45°，
∴△AGH等腰直角，
∴GH=根号2倍的AG。
往下只需证明
GH+DG=EG，
即需要证明DH=EG。
归结为证明
△EGA≌△DHA。
∠E=∠5，
∠2=∠H，
AE=AD，
条件足够！
证法五：
在线段EG上取一点H，
使GH=DG，连接DE。
本证法较较简捷，较优越，
但任何网页上无此解法。
第三问证法五附图
∵△EDA和△HDG
均为等腰Rt△且
∠2=∠3，
∴△EDH∽△ADG且
相似比为根号2。
∴EH:AG=根号2，
而EH等于EG-DG。
证法六：
辅助线如图红色笔。
思路是：
①截取GP=GD，
则EG-DG=EP；
②作等腰直角△AGH，
则AH=根号2倍的AG。
第三问证法六附图
往下只需证明EP=AH。
只需证四边形PEAH是平行四边形。
只需证其对边平行。
由∠4=∠5=45°知
EP∥AH。
只需证PH∥EA。
易证得△DGA≌△PGH，
∴∠2=∠GPH，
而∠2=∠E，
∴∠GPH=∠E，
∴PH∥EA。
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