中考数学压轴题，关于抛物线的问题出现的概率是最高的。比如下面这道题：
直线y=2x+m与抛物线y=ax^2+ax+b有一个公共点M(1,0), 且a<b.
(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的代数式表示)。
(2)说明直线与抛物线有两个交点；
(3)直线与抛物线的另一个交点记为N.
①假设-1≤a≤-1/2, 求线段MN长度的取值范围；
②求△QMN面积的最小值.
分析：(1)是待定系数法的不完全应用。可以将M点的坐标代入抛物线的解析式，得到b与a的关系。然后再用含a的式子表示b，代入解析式，这个时候并不能得到抛物线完整的解析式，所以说是待定系数法的不完全应用。不过只要将解析式化为顶点式，答案就出来了。
(2)第二小题可以用判别式法，通过判断判别式的符号性质，来说明直线和抛物线有两个交点。
先将M点坐标代入直线解析式，求得m=-2。然后联立直线和抛物线的方程，得到关于x的二次方程。它的判别式是一个完全平方式，不小于0. 要证明两个交点，还要排除判别式等于0的形式，从而证明它们有两个交点。
(3)要借助图像，才比较好解决，因此画图像的能力尤为重要。过程比较复杂，在下面组织解题过程中，边解边分析。
解：(1)将M(1,0)代入抛物线解析式得：2a+b=0, b=-2a,
∴y=ax^2+ax-2a=a(x+1/2)^2-9a/4, ∴Q(-1/2, -9a/4);
(2)将M(1,0)代入y=2x+m得, 2+m=0, m=-2,
当ax^2+ax-2a=2x-2时, ax^2+(a-2)x-(2a-2)=0,
△=(a-2)^2+4a(2a-2)=(3a-2)^2≥0,
又a<b, 且a,b异号，∴a<0, 【a的这个符号性质在第三题中的作用很大】
∴△>0, 即直线与抛物线有两个交点.
(3)设N(x, 2x-2), 则1-x=(3a-2)/a=3-2/a，【1,x分别是M，N的横坐标，也就是方程ax^2+(a-2)x-(2a-2)=0的两个解,因此它们的差等于根号△/a, 而△=(3a-2)^2, 注意1-x是正数，所以右边也必须是正数。这是韦达定理的拓展公式的应用】
①当-1≤a≤-1/2时, 5≤1-x≤7,【1-x的值在两个问中都要用到，因此先于第一问交代】
MN=根号[(x-1)^2+(2x-3)^2]=根号5(1-x), 【这是两点距离公司的应用】
∴5根号5≤MN≤7根号5.
②如图，记抛物线的对称轴x=-1/2交MN于点A，则A(-1/2,-3), AQ=3-9a/4,
S△QMN=(3-9a/4)(3-2/a)/2=27/4-3/a-27a/8, 【三角形QMN的面积等于三角形AQM和三角形AQN的面积和。这两个三角形有公共底AQ，所以它们的面积和等于AQ/2与MN的水平距离的积】
【这一步其实很重要，老黄一开始都忽略掉了。因为如果没有a<0，就不能运用下面的均值不等式，只有a<0，才保证了-3/a>0, -27a/8>0，因此才可以对它们的和运用均值不定式】
∵-3/a-27a/8≥2根号(3X27/8)=9根号2 /2, 【这里运用了均值不等式，因为a<0(2)中已证，所以-3/a和-27a/8都是正数，这是应用均值不等式的必要条件。均值不等式是高中的知识，但初中生也应该掌握。而且在高中数学中，往往还要求均值不等式的最小值是否可以取得，初中数学一般就没有这个要求。这里a可以是任意负数，因此最小值是一定可以取得的】
∴S△QMN=27/4+9根号2 /2最小.
在求最小值时，还有一种方法是直接把S看作一个参数，得到关于a的二次方程 ：
27a^2/8+(S-27/4)a+3=0.
然后利用这个方程的判别式，以及S=27/4-3/a-27a/8>27/4，求得S的最小值。这种方法其实也并不特别适合初中生。
其实我们在第一问中，已经得到MN关于a的表达式，它就是三角形QMN的底。如果能用含a的式子表示出Q到MN的距离，就是三角形QMN的高，同样可以解决这个问题。但也要运用到高中数学的点到直线的距离公式。不过点到直线的距离公式并不难，而且很好用，初中生最好能学习掌握起来。在老黄前面的作品中多有介绍。
中考压轴题，就怕这种踩在超纲和不超纲的线上的题目。你觉得呢？
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