关于一道IMO试题的解法

关于解方程组

据说这是一道IMO试题，但笔者查历届IMO试题没有找到，也可能是IMO预选题吧，有人作出如下的“解法”：

这个是用的观察法，还有的美其名曰“瞪眼法”.当然观察法可以用，但这样用不可以哈~

下面林根老师给出这道题的严格解法。

解（林根数学）：记x+y=a,xy=b,则由(x+y)[(x+y)2-3xy]=x^3+y^3=1，得

b=(a^2-1/a)/3,(1)

由恒等式(x^3+y^3)(x^2+y^2)= (x^5+y^5)+(xy)^2(x+y),注意到x^2+y^2=a^2-2b,及已知,得

a^2-2b=b^2a+1,(2)

把(1)代入(2),得

a^6-5a^3+9a-5=0,(3)

由于(3)是一整系数方程,由Eisenstein判别法,可知其有三个重整数根1,则因式分解得

(a-1)^3(a^3+3a^2+6a+5)=0,(4)

解方程(a-1)^3=0有三个重根a=1;

以下解方程a^3+3a^2+6a+5=0,(5)

由于(5)是一个三次方程,必有一个实根,可以用经典的三次方程的配方法求解,也可以直接套用三次方程的求根公式(本题即使改为求复根也可以,这里只给出实根),可得

但这个根是负值,当舍去.这是因为当a<0时,由(1)知b>0,则xy=b>0知x,y同号,由x+y=a知x,y同负,与已知矛盾,不可.

或者设f(a)=a^3+3a^2+6a+5=0,用导数易见(5)只有一个负根(舍).

所以,从以上行文可以看出,别说复根了,就是三次方程的那个实根,无论如何用'瞪眼'的方法是解不出来的,属于'干瞪眼没办法'类.

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