高考数学常规武器之一：将参数化为函数，利用单调性求取值范围

利用函数的单调性，求参数的取值范围，是高考数学的一种常规武器。它是直接把参数转换成一个函数的方法，简单粗暴又有效。可能很多学生脑子会转不过来。明明是函数的参数，怎么一下子就变成一个函数了呢？看了下面这道题的解法，你应该会受到启发的。

已知函数f(x)，若在其定义域内存在实数x，满足f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为“局部奇函数”，若函数f(x)=4^x-m*2^x-3是定义在R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围。

分析：m是函数f(x)的一个参数，2^x的系数。这个函数看起来是指数函数2^x和二次函数x^2-mx-3的复合函数。但如果按这个方向去解题，可能会比较麻烦。接下来老黄要把参数m化成一个函数，利用这个新的函数的单调性，来求m的取值范围。

题目告诉了我们一个新的数学概念“局部奇函数”。你要好好理解这个概念，它是解题的一个关键，给了我们一个突破口。

解：依题意，存在x属于R，使f(-x)=-f(x)，即4^(-x)-m*2^(-x)-3=4^x-m*2^x-3. 【现在就存在将m化为x的函数的可能了】

化得m=(4^(-x)+4^x-6)/(2^(-x)+2^x)=2^(-x)+2^x-8/(2^(-x)+2^x), 【看作m是关于x的函数，不过这个函数相当复杂，需要运用换元法，把它化得简单一点。通过观察，可以发现，2^(-x)+2^x是一个整体，因此引入中间变量u】

记u=2^(-x)+2^x，则u>=2，【这里运用了均值不等式，因为2^(-x)和2^x都大于0，且它们的积恒等于1，所以可以运用均值不等式a^2+b^2>=2ab(a>0,b>0)，得到关于u的函数g(u)的定义域】

记m=g(u)=u-8/u，则g'(u)=1+8/u^2>0，所以g(u)是增函数，

所以m>=g(2)=-2，即m属于[-2,正无穷大)

换元之后，就一路求到底，不需要回头考虑前面的东西，这在解数学题的过程中，还是比较少见的。现在您掌握这种直接把参数化为函数，再利用函数的单调性求参数的取值范围的方法了吗？