题太长,解太烦,不废话!
如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=根号3 x^2/3-2根号3 x/3-根号3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,对称轴与x轴交于点D,点E(4,n)在抛物线上.
(1)求直线AE的解析式;
(2)点P为直线CE下方抛物线上的一点,连接PC,PE.当△PCE的面积最大时,连接CD,CB,点K是线段CB的中点,点M是CP上的一点,点N是CD上的一点,求KM+MN+NK的最小值;
(3)点G是线段CE的中点,将抛物线y=根号3 x^2/3-2根号3 x/3-根号3沿x轴正方向平移得到新抛物线y’,y’经过D,y’的顶点为点F.新抛物线y’的对称轴上,是否存在一点Q,使得△FGQ为等腰三角形?假设存在,直接写出点Q的坐标;假设不存在. 说明理由.
解:(1)解方程:根号3 x^2/3-2根号3 x/3-根号3=0,得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0),
当x=4时, y=根号3 x^2/3-2根号3 x/3-根号3=5根号3/3,∴E(4, 5根号3/3),
直线AE的斜率为:(5根号3/3)/(4-(-1))=根号3/3,
直线AE的解析式为:y=根号3 (x-(-1))/3=根号3 x/3+根号3 /3.
(2)直线CE的斜率为:(5根号3/3-(-根号3))/4=2根号3/3,
可设过P的直线:y=2根号3 x/3+b,
当根号3 x^2/3-2根号3 x/3-根号3=2根号3 x/3+b,即根号3 x^2/3-4根号3 x/3-根号3-b=0,
设P点的横坐标为p,则p=(4根号3/3)/(2根号3/3)=2,△PCE面积最大. 【这是因为此时过P的直线与抛物线只有一个公共点,此时点P到CE的距离最大,即高最大,底CE不变,所以三角形面积最大。这里已经用了比较简便的方法了,还跳过了通过判别式等于0求过P点直线解析式的过程】
根号3 p^2/3-2根号3p/3-根号3=-根号3, ∴P(2, -根号3),∴CP//x轴,
又K(3/2,-根号3/2), 作K关于CP的对称点K’(3/2,-3根号3/2), 关于CD的对称点K”(kx,ky),
连接K’K”,交CP于点M,并CD于点N,【将KM+MN+NK转换成一条线段K’K”,这是“将军双饮马”的经典运用】
D(1,0), 直线CD的解析式为:y=根号3x-根号3,
可设KK”的解析式为:y=-根号3x/3+c,
将K(3/2,-根号/2)代入上式,解得:c=0,
当根号3 x-根号3=-根号3 x/3时,解得x=3/4,
-根号3 x/3=-根号3/4,
kx=2×3/4-3/2=0, ky=0, 【k'是原点,老黄的图画得非常不准确,不过并不影响解题】
KM+MN+NK=|K’K”|=根号((3/2)^2+(-3根号3/2)^2)=3最小.
(3)Q(3, (2根号21-4根号3)/3)或(3,(-2根号21-4根号3)/3) 或(3,-2根号3/5)或(3,2根号3).
【出题人最爱开这种玩笑,直接写出这个结果,怎么可能?下面分析得到这四个坐标的过程】
分析:(3)G(2,根号3/3),
当x=1时, y=根号3 x^2/3-2根号3 x/3-根号3=-4根号3/3,【得到的是F点的纵坐标】
∴F(3,-4根号3/3),可设Q(3,q),
当|FQ|=|FG|时, |-4根号3/3-q|=根号(1+(-5根号3/3)^2)=2根号21/3,
解得:q=(2根号21-4根号3)/3或(-2根号21-4根号3)/3
当|FQ|=|GQ|时, |-4根号3/3-q|=根号(1+(q-根号3/3)^2),解得:q=-2根号3/5,
当|GQ|=|FG|时, 根号(1+(q-根号3/3)^2)=2根号21/3,
解得:q=2根号3或-4根号3/3(舍去).【这就得到了符合条件的Q点的四个坐标,下面看看它们分别在图中什么位置上】
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