如图, D为圆锥的顶点, O是圆锥底面的圆心, AE为底面的直径, AE=AD, △ABC是底面的内接正三角形, 且DO=6, P是线段OD上一点.
(1)是否存在点P，使得PA⊥平面PBC，若存在，求出PO的值；若不存在，请说明理由；
(2)当PO为何值时，直线EP与面PBC所成的角的正弦值最大.
分析：(1)使PA垂直于平面PBC的P点当然是存在的，因为整个图形是关于平面ADE对称的。依题意，我们是不需要证明P点存在的，只需要直接求OP的长就可以了。
不过为了保险起见，还是说明理由比较妥当。写入卷子的理由，当然不能是上面所说的理由了。我们可以直接取一点P，使PA与PB互相垂直，这是可以做到的。
然后证明三角形PAB和三角形PAC全等，从而有角APB和角APC都是直角，这就可以知道PA垂直于平面PBC了。
而OP在直角三角形OAP中，可以通过勾股定理求得。这就需要知道OA和PA的长。
OA的长好求，它等于AE的一半，也就等于AD的一半，所以直角三角形OAD中，角ADO是30度角，从而可以求得OA＝OD/根号3=2倍根号3. 在正三角形ABC中，OA在角的平分线上，易求得AB=根号3 OA=6. 在等腰直角三角形PAB中，PA＝AB/根号2=3根号2.
(2)问题的关键是找到EP和平面PBC的夹角。可以记AE交BC于点M，点M是BC的中点，所以AE垂直于BC，且PM垂直于BC，这是正三角形ABC和等腰三角形PBC的底边BC三线合一决定的。从而BC垂直于面PAE。
现在只要我们过E作PM的垂线段EF，就有BC垂直于EF，从而有EF垂直于平面PBC，因此角EPF就是我们要找的直线EP与平面PBC所成的角。
不过以上这些，老黄并不会全部应用到解题过程中，而且实际上所确定的角也不是角EPF，因为那样组织解题过程并不方便。老黄选择过M作MN垂直PE于点N，然后用角MPN来表示直线PE与平面PBC所成的角。这样解决起来会比较简便。下面开始组织解题过程：
解：(1)存在.【下面[]内的过程可以考虑不写入试卷中】
[取P点，使PA⊥PB，]
[∵PA=PB=PC, AC=AB,]
[∴△PAB≌△PAC,∴∠APB=∠BPE=90⁰，]
[∴PA⊥平面PBC.]
由AD=AE=2OA, 得OA=OD/根号3=2根号3；
AB=根号3OA=6,
PA=AB/根号2=3根号2,
PO=根号(PA^2-OA^2)=根号6.
(2)记AE交BC于M，作MN⊥PE于点N,连接PM，
[则∠MPN就是直线EP与平面PBC所成的角.]
设OP=x,
AM=根号3AB/2=3根号3,
OM=AM-OA=根号3,ME=OE-OM=根号3,
PM=根号(OP^2+OM^2)=根号(x^2+3),
PE=根号(OP^2+OE^2)=根号(x^2+12),
由Rt△EMN∽Rt△EPO，有MN/OP=ME/PE,
MN=OP*ME/PE=根号3 x/根号(x^2+12),
sin∠MPN=MN/PM=根号3 x/根号((x^2+12)(x^2+3))
=根号(3/(x^2+15+36/x^2)).
当x^2=36/x^2, 即x=根号6 [时，]sin∠MPN[=1/3]最大.
没想到最后两道小题的答案竟是一样的，也就是说，当PA垂直于平面PBC时，也是EP与平面PBC所成的角的正弦值最大的时候。您说这个出题人坏不坏，早知道两题当作一题来解就好了。
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