这样求最大值，您见过吗？与向量、抛物线相关的高考数学真题

这道高考数学真题，可以复习到抛物线的准线方程、焦点坐标、向量关系，均值不等式以及求直线斜率的最大值等问题。而且求最大值的方法比较特别，对高考复习非常有帮助。题目是这样的：

已知抛物线C: y^2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.

(1)求C的方程；

(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足向量PQ=9倍向量QF，求直线OQ斜率的最大值.

分析：(1)第一小题自然是送分题了，只要知道抛物线的准线方程是x=-p/2，以及焦点坐标是F(p/2,0)。就相当于求点(p/2,0)到直线x=-p/2的距离，求它们的差的绝对值，就可以得到p的值，这里求得p=2. 从而得到抛物线C的方程。

(2)可以设P点，Q点的坐标，结合F(1,0)，由向量PQ=9倍向量QF，就可以表示出Q点的坐标。其中运用到的向量知识有：

I. 向量等于终点坐标减去起点坐标，比如向量QF=(Fx-Qx, Fy-Qy).

II. 常数与向量的积，可以运用分配律，将常数乘到向量中，比如9倍向量QF=(9(Fx-Qx), 9(Fy-Qy)).

III. 相等的向量，x值和y值分别相等。

从而可以用Qy/Qx表示OQ的斜率，并求得斜率的最大值。其中有一些要注意的地方，见解题过程：

解：(1)由p/2-(-p/2)=2, 得p=2, ∴C的方程为： y^2=4x.

(2)F(1,0),可设P(a^2/4,a), Q(x,y),【也可以设P(b,根号(2b))】

由向量PQ=9倍向量QF，有

(x-a^2/4, y-a)=9(1-x, -y),

即x-a^2/4=9-9x, y-a=-9y,

解得：x=a^2/40+9/10, y=a/10,

直线OQ的斜率k=y/x=a/(a^2/4+9), 仅当a>0时, k取得最大值. 【接下来是这道题最关键的一步，由于直接求k的最大值并不容易，我们可以变换思路，通过求它的倒数1/k的最小值来实现】

又1/k=(a^2/4+9)/a=a/4+9/a≥2倍根号((a/4)·(9/a))=3. 【即当a>0时,1/k的最小值是3】

∴k=1/3是直线OQ斜率的最大值.

怎么样？这道题包含的知识量足够丰富吧！