高考数学中,有一类题型是一定会出现的,就是关于函数性质的综合问题,包括单调性、奇偶性和周期性等。下面这道题就是高考数学关于函数性质的综合真题。我们一起来看看题目,并且从中积累解决这类问题的经验吧。
设函数f(x)的定义域R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x ∈[1,2]时,f(x)=ax^2+b,若f(0)+f(3)=6,求f(9/2).
分析:f(x+1)表示函数f(x)的图像向左平移一个单位长度,f(x+2)则表示f(x)的图像向左平移两个单位长度。像这样通过平移,可以得到奇函数和偶函数的图像,即函数f(x)的图像既是中心对称图形,又是轴对称图形,那么f(x)就肯定是周期函数。因此第一步就是要证明函数f(x)是周期函数。且由于平移一个单位长度就得到奇函数的图像,平移两个单位长度就得到偶函数的图像,因此函数f(x)肯定是以4为周期的。虽然这样,我们还是要有一个推导过程的。除非是选择题或填空题,我们才能依靠经验,直接得到结果。
由f(x+1)的奇函数性质有f(-x+1)=-f(x+1),注意不是f(-x+1)=-f(x-1),后者表示的是f(x)是奇函数。
由f(x+2)的偶函数性质有f(-x+2)=f(x+2), 同样不能写成了f(-x+2)=f(x-2),后者表示的是f(x)是偶函数。
因为x+2=(x+1)+1,所以f(x+2)=f((x+1)+1)=-f(-(x+1)+1)=-f(-x). 这里再次利用了f(x+1)的奇函数性质。
所以f(-x+2)=f(x+2)=-f(-x), 这里又再次利用了f(x+2)的偶函数性质。
又-f(-x)=-f(-x-2+2)=-(-f(-x-2))=f(-x-2), 这里利用了上面推出来的等量关系f(x+2)=-f(-x)。
因此f(-x+2)=f(-x-2),这就证明了f(x)是以4为周期的函数了。当自变量加一个数,同减一个数的函数相等时,函数就以这个数的两倍为周期。
而f(0)=f(-1+1)=-f(1+1)=-f(2),再次运用了f(x+1)的奇函数性质。
因为f(2)=4a+b, 所以f(0)=-4a-b.
另一方面f(3)=f(-1)=f(-2+1)=-f(2+1)=-f(3), 前面运用了f(x)的周期性,后面还是利用了f(x+1)的奇函数性质。
所以f(3)=0. 这就可以得到一个关于a,b的二元一次方程,f(0)+f(3)=-4a-b=6,
又f(1)=f(0+1)=-f(0+1)=-f(1), 这道题不断重复地运用f(x+1)的奇函数性质。
所以f(1)=a+b=0, 又得到一个关于a,b的二元一次方程,与上面的方程组成方程组,就可以解得:a=-2,b=2.
最后求f(9/2)=f(1/2)=f(-1/2+1)=-f(1/2+1)=-f(3/2)=-9a/4-b= 5/2. 前面仍运用了f(x)的周期,而到最后,还在运用f(x+1)的奇函数性质。
原题是一道选择题。不过这里老黄把它当做一道解答题来分析。只有这样,才能真正理解题目的思路和解法。
联系客服