今天在研究中考数学压轴题时,遇到一道超麻烦的问题,麻烦之处,在于它多次要求已知点关于已知直线的对称点坐标。
按照一般步骤,先设过已知点与已知直线垂直的直线解析式,然后代入已知点的坐标,确定这条直线的解析式。
然后根据对称点所在直线的解析式,假设对称点的坐标。最后根据两点到直线距离相等,列关于对称点横坐标的方程,从而解得对称点的横坐标,并且得到对称点的坐标。
一番操作下来,还是比较繁的,架不住这道题三番两次要重复这个过程。因此老黄就想,如果有关于直线对称点坐标公式,那该多好多简便啊。
虽然网上有现成的公式,但是学习这件事情,老黄不想假手于人。因此老黄还是决定自己推导一下。没想到结果如此之复杂。设点(x0,y0), 求关于直线Ax+By+C=0的对称点, (A^2+B^2不等于0)。
按照上面叙述的一般过程,先设过已知点与已知直线垂直的直线解析式:Bx-Ay+D=0, 代入已知点的坐标,求得D=Ay0-Bx0. 因此直线的解析式为:Bx-Ay+Ay0-Bx0=0.
可设对称点的坐标为(x,(Bx+Ay0-Bx0)/A), 则:
|Ax0+By0+C|=|Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C|,因为对称的两点在对称轴的两侧,所以
Ax0+By0+C+Ax+B(Bx+Ay0-Bx0)/A+C=0,化简得:
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),
(Bx+Ay0-Bx0)/A=B((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^3+AB^2)+y0-Bx0/A.
横坐标的公式还好说,纵坐标的公式就未免太复杂了。而且当A=0时,它是没有意义的。那怎么办呢?其实对称点的横坐标和纵坐标是具有一定的对称性的。我们可以由它的对称性,直接得到纵坐标y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2). 或者运用上面的推导过程再推导一次。
因此点(x0,y0), 求关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为
(((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2),((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)) (A^2+B^2不等于0).
这个坐标公式,看起来想要记住还是有可能的。接下来检验一下它的正确性。
先举一个最简单的例子:比如点(2,1)关于横轴的对称点是(2,-1),这里A=0,B=1, C=0, 因此对称点的坐标:
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=x0=2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=-y0=-1. 检验正确。
再随便举一个例子:比如点(1,2)关于直线3x-2y+1=0的对称点坐标记为(x,y),这里A=3, B=-2, C=1. 则
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-5x0-6(-2y0+1))/13=1,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(5y0+4(3x0+1))/13=2.
所以点(1,2)关于直线3x-2y+1=0的对称点还是它本身,这一开始吓到了老黄,但仔细一点,原来点(1,2)在直线上,所以结果也是正确的。
凡事不过三,最后举一个例子:比如点(2, 3)关于直线2x+y-3=0的对称点记为(x,y),这里A=2, B=1, C=-3. 则
x=((B^2-A^2)x0-2A(By0+C))/(A^2+B^2)=(-3x0-4(y0-3))/5=-1.2,
y=((A^2-B^2)y0-2B(Ax0+C))/(A^2+B^2)=(3y0-2(2x0-3))/5=1.4
通过作图,结合求点关于直线的对称点坐标的一般方法。我们就可以检验这个答案是正确的。
你也可以继续举一些例子来检验。以后我们在求点关于直线的对称点坐标时,就可以直接运用这个坐标公式了。
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