平面几何的有关“角格点”问题中,有许多简精经典的好问难题,同时会有许多独具匠心的求解方法。今有一道其的经典难题,来说说其的三种思考方法:
【例题】(如图)在△ABC中,点D为其内一点,且∠ABD=30º,∠DBC=40º,∠ACD=50º,∠DCB=20º,求:∠BAD的度数
【思路一】(中垂线、等腰、全等)
(1)由已知可得:AB=AC,∠BAC=40º
(2)延长CD交AB于点F,则∠CFB=90º,又∠DBF=30º,∴FD=BD/2
(3)过点A作AE⊥BC,垂足为E,交CD于点G,则AE为BC边的中垂线,连BG,∴GB=GC,∴∠GBC=∠GCB=20º=∠GBD
(4)过点D作BC的平行线交AE于点H,并交BG的延长线于点K,即:DK∥BC,∴GH⊥DK
(5)易得:∠K=∠KBC=20º=∠DBK=∠KDG,∴BD=DK,GD=GK,所以GH垂直平分DK,∴DH=DK/2=BD/2=DF
(6)易证:Rt△AFD≌Rt△AHD(HL)
(7)所以:∠BAD=∠HAD=∠BAE/2=10º
【思路二】(中垂线,角平分线、正弦定理)
(1)易得:AB=AC,∠BAC=40º,作BC边上高AE,即AE为BC边上中垂线且平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE=20º
(2)延长BD交AE于点F,连FC,∴FB=FC,则∠FCD=20º=∠BCD,∠AFB=130º
(3)由角平分线定理得:BC/FC=BD/FD,即BD/FD=2EC/FC=2cos40º=2sin50º
(4)在△ABF中,根据正弦定理可得:AB/AF=sin130º/sin30º=2sin50º=BD/FD
(5)在△ABF中根据角平分线定理逆定理可得:AD平分∠BAF,∴∠BAD=10º
【思路三】(30º角、作正三角形、造外心)
(1)由己知得:AB=AC,∠BAC=40º
(2)以AB为边(如图)作正三角形△ABF,连CF,∴∠FBC=10º,∠DBF=30º=∠DBA,∴BD为边AF的中垂线
(3)易得:AB=AF=AC=BF,∴点A为△BCF的外心,∴∠BFC=∠BAC/2=20º,∠CAF=20º
(4)作∠CAF的平分线与BD的延长线交于一点E,连EC、EF,则:∠CAE=∠FAE=10º,易证:△ACE≌△AFE(SAS),∴EC=EF,又中垂线BE,∴EA=EF=EC,∴∠ECA=∠EAC=10º
(5)易得:∠ECD=50º+10º=60º=∠EDC,∴△EDC为正三角形,∴ED=EC=EA,则:点E为△ADC的外心,∴∠CAD=∠CED/2=30º
(6)故:∠BAD=40º-30º=10º
以上三法之分析,“道听度说”供参考。
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