巧用正三角形的对称性解“角格点”问题“说三法”

正三角形在平面几何中是个特殊的图形，其具有三条对称轴及许多性质，巧妙利用其来解题会带来许多便捷。特别在“角格点”问题中，可利用正三角形中的“三线合一”，中垂线、角平分线、30º角等巧解相应难题。今举一例说说其的三种解法：

【例题】（如图）在正三角形△ABC中，点D为其内一点，且有：∠DBA=18º，∠DCB=12º，求：∠DAB的度数

【方法一】（中垂线、外心、四点共圆）

（1）过点A作∠BAC的平分线交CD于点E，连接EB，则：AE为边BC上的中垂线，∴EB=EC，∠EBC=∠ECB=12º，∠DBE=30º，∠DEB=24º

（2）以BE为边（如图）作正△BEF，连接FD、FC、FA，∴∠FBA=12º，易证：△BCE≌△BAF，∴∠FAB=12º，∠FAC=72º

（3）由∠DBE=30º=∠DBF，易△DBE≌△DBF，∴∠BDE=∠BDF=126º，∴∠EDF=108º

（4）由∠FAC＋∠FDC=180º，∴AFDC四点共圆，∴∠FAD=∠FCD，△BCF中，∵EB=EC=EF，∴点E为△BCF的外心，∠BCF=∠FEB/2=∠30º，∴∠FCD=30º－12º=18º=∠FAD

（5）所以：∠DAB=18º－12º=6º

【方法二】（中垂线、正弦定理）

（1）作BC边上的高线AE，则：AE为边BC的中垂线，平分∠BAC，即：∠BAE=30º

（2）延长BD交AE于点F，连FC，则FB=FC，∠BFE=∠CFE=48º，由己知可得：∠FDC=54º，∠FCD=30º

（3）△ABF，AF/BF=sin18º/sin30º=2sin18º，△CDF中，DF/FC=sin30º/sin54º=1/2sin54º，整理得：DF/FC=1/2cos36º=sin36º/sin72º，∴DF/FC=sin36º/cos18º=2sin18º=AF/BF

（4）所以：AF=DF，∠DAF=48º/2=24º，∴∠DAB=30º－24º=6º

【方法三】（中垂线、作正三角形，外心）

（1）作∠ACB的平分线交BD的延长线于点E，连AE，由已知正△ABC，∴CE为边AB的中垂线，EB=EA，∠EBA=∠EAB=18º

（2）以BE为边（如图）作正三角形△BEF，则：EB=EF=EA，连AF交CD于点H，则点E为△ABF的外心，∴∠BAF=30º，∴AF为BC边的中垂线，∴∠EFA=∠EAF=30º－18º=12º

（3）连BH，∴BH=HC，∴∠HBC=∠HCB=12º，则∠EBH=42º－12º=30º=∠FBH，∴BH为边EF的中垂线，HE=HF，∠HEF=∠HFH=12º

（4）△DEH中，∠EHD=54º=∠EDH，∴ED=EH

（5）△AED与△AEH中，易得：∠AEB=144º，∠AEH=144º，∠AED=∠AEH，∴△AED≌△AEH，∴∠DAE=∠HAE=12º

（6）所以：∠DAB=18º－12º=6º

以上解法之分析，“道听度说”供参考。